Questão 157 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria (arcos e proporcionalidade em circunferências)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na conta, mas em traduzir corretamente o contexto geográfico (latitude, meridiano, semicircunferência) para uma simples proporção entre grau e quilômetro.
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade direta entre ângulo central e comprimento de arco de circunferência, aplicada a um contexto de coordenadas geográficas (competência de grandezas e medidas).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a semicircunferência que liga os polos mede 20 016 km, calcule a distância (medida sobre o meridiano) entre um ponto P de latitude ϕ = 30° e a linha do Equador."
• Palavras-chave decisivas: semicircunferência, latitude (ϕ), meridiano
• Armadilha típica: confundir a base da proporção — usar 90° (Equador → Polo) em vez dos 180° (Polo Norte → Polo Sul) que o enunciado efetivamente fornece, ou trocar a latitude ϕ pelo seu ângulo complementar (a chamada colatitude, 90° − ϕ).
• O que a resposta precisa demonstrar: que o(a) candidato(a) entende que arco de circunferência e ângulo central são grandezas diretamente proporcionais, e sabe montar essa regra de três a partir do dado geométrico da semicircunferência.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Arco e ângulo central proporcionais: em qualquer circunferência, o comprimento de um arco é diretamente proporcional ao ângulo central que o subtende. Se a circunferência completa (360°) tem comprimento C, um arco de ângulo θ mede (θ/360°) × C.
• Meridiano terrestre: circunferência máxima que passa pelos dois polos. A semicircunferência que liga PN a PS varre toda a faixa de latitude possível — de +90° (Polo Norte) a −90° (Polo Sul), passando por 0° no Equador — correspondendo a exatamente 180°.
• Latitude (ϕ): ângulo, medido no centro C da Terra, entre o raio CP e o plano do Equador. Varia de 0° (sobre o Equador) até 90° (nos polos); é essa grandeza angular que se converte em distância ao longo do meridiano.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O comprimento da semicircunferência que une os pontos PN e PS tem comprimento igual a 20 016 km" → fornece a relação-base: 180° de variação de latitude ↔ 20 016 km de arco sobre o meridiano.
• Evidência 2: "ϕ o ângulo que o segmento PC faz com o plano que contém a linha do Equador. A medida em graus de ϕ é a medida da latitude de P" → deixa claro que a distância entre P e o Equador, medida sobre o meridiano, é exatamente o arco correspondente ao ângulo ϕ, contado a partir do Equador (0°). No caso do ponto P representado na figura, essa latitude vale ϕ = 30°.
• Síntese: o problema se resume a converter graus de latitude em quilômetros de arco, usando a constante de proporcionalidade obtida a partir da semicircunferência polo-a-polo (180° = 20 016 km).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a proporção grau ↔ quilômetro

A semicircunferência PN–PS cobre toda a variação latitudinal: de +90° no Polo Norte até −90° no Polo Sul, totalizando 180°. Logo:

180° ↔ 20 016 km

Dividindo os dois lados por 180, obtém-se a constante de conversão (o famoso "grau de latitude ≈ 111 km", valor real e conhecido da Geografia):

1° ↔ 20 016 ÷ 180 = 111,2 km por grau

Subpasso 4.2 — Aplicar essa constante à latitude de P (ϕ = 30°)

Por regra de três direta:

180° ---- 20 016 km

30° ---- d

d = (30 × 20 016) ÷ 180 = 600 480 ÷ 180 = 3 336 km

Subpasso 4.3 — Verificação

Como 30° é exatamente 1/3 de 90° (distância Equador–Polo), o resultado deve ser 1/3 da distância total Equador–Polo. Essa distância total vale metade da semicircunferência dada: 20 016 ÷ 2 = 10 008 km. E de fato, 10 008 ÷ 3 = 3 336 km ✓. O valor bate exatamente com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 668

❌ Incorreta: equivale a usar ϕ = 15° em vez de 30° (é exatamente a metade do valor correto). Surge de um erro comum de quem, após montar a proporção corretamente, divide o resultado final por 2 por engano — como se ainda precisasse "tirar a metade da semicircunferência".

B) 3 336

✅ Correta: é o valor exato de (30° × 20 016 km) ÷ 180°, obtido ao converter corretamente a latitude ϕ = 30° em distância sobre o meridiano, usando a base de 180° fornecida pela semicircunferência PN–PS.

C) 5 004

❌ Incorreta: corresponde a tomar ϕ = 45°, como se P estivesse exatamente na metade do caminho entre o Equador e o Polo (bissetando os 90°). Esse valor ignora o dado real de latitude (30°) e assume erroneamente uma posição "no meio" para o ponto P.

D) 6 672

❌ Incorreta: corresponde a usar ϕ = 60°, que é o ângulo complementar de 30° em relação a 90° (a chamada colatitude, 90° − ϕ). É o erro clássico de calcular a distância entre P e o Polo Norte em vez da distância entre P e o Equador — inverte o referencial da medida.

E) 10 008

❌ Incorreta: é exatamente metade da semicircunferência (20 016 ÷ 2), ou seja, a distância entre o Equador e o Polo inteiro (ϕ = 90°). Esse erro trata o ponto P como se estivesse sobre o próprio polo, ignorando totalmente que sua latitude vale apenas 30°.

🏆 Gabarito: B — a distância entre P e o Equador, medida sobre o meridiano, é de 3 336 km, valor obtido pela proporção direta entre o ângulo de latitude (30°) e o comprimento da semicircunferência polo-a-polo (180° = 20 016 km).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa B (3 336 km) resulta da proporção correta 180° → 20 016 km aplicada a ϕ = 30°; as demais correspondem a ângulos "vizinhos" (15°, 45°, 60° ou 90°) gerados por trocas de referencial (Equador ↔ Polo) ou divisões indevidas por 2.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir geometria plana (arco/ângulo central) em contextos aplicados — aqui, Geografia (latitude/longitude); em outras provas, GPS, fusos horários ou distâncias entre cidades. A matemática por trás é quase sempre a mesma regra de três simples.
• Generalização: sempre que um ângulo central se relacionar a um arco, identifique primeiro qual ângulo total corresponde a qual comprimento total antes de aplicar a proporção ao ângulo pedido — esse é o passo que mais gera erro.
• Dica de eliminação rápida: calcule o "valor por grau" (≈111 km/°) e multiplique por 30 — chega-se direto a 3 336, confirmando B e descartando as demais por não baterem com esse fator.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de fusos horários (360° = 24 h → 15°/h) e em problemas de comprimento de circunferência e setores circulares.