Questão 176 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (função do 1º grau) aplicada à leitura e extrapolação de dados tabulados
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na conta em si, mas em perceber que uma taxa de crescimento constante se mantém mesmo quando os intervalos de anos da tabela são desiguais (5, 10 e 15 anos)
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de um fenômeno com função afim a partir de uma tabela e projeção (extrapolação) para um valor fora do intervalo observado
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir do número de médicos registrado em quatro anos diferentes de um município, identificar o padrão de crescimento e usá-lo para estimar quantos médicos o município terá no ano de 2040."
• Palavras-chave decisivas: levantamento, número de médicos, padrão de crescimento mantido
• Armadilha típica: como os intervalos entre os anos da tabela não são iguais (1980→1985 são 5 anos; 1985→1995 são 10 anos; 1995→2010 são 15 anos), muitos candidatos acham que o crescimento é irregular ou tentam aplicar juros compostos/crescimento percentual (exponencial), quando na verdade a variação absoluta por ano é perfeitamente constante.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular a taxa de variação (médicos por ano), verificar que ela é a mesma em todos os intervalos e aplicá-la corretamente ao número de anos entre o último dado da tabela e o ano pedido.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (1º grau): f(x) = a·x + b, em que a é a taxa de variação constante (quanto a grandeza muda a cada unidade de x) e b é o valor inicial (quando x = 0).
• Taxa de variação constante: se, para quaisquer dois pontos de uma tabela, a razão Δy/Δx é sempre a mesma, então os pontos pertencem a uma única reta — mesmo que os intervalos de x amostrados sejam diferentes entre si.
• Extrapolação de dados: consiste em usar o modelo matemático (a lei de formação da função) ajustado aos dados conhecidos para prever um valor fora do intervalo observado, assumindo que o comportamento identificado se mantém.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: a tabela traz os pares (ano, médicos) → (1980, 137), (1985, 162), (1995, 212), (2010, 287) — quatro pontos que precisam ser testados quanto ao alinhamento em uma mesma reta antes de qualquer projeção.
• Evidência 2: o problema pede a manutenção do "padrão de crescimento" observado até um ano futuro (2040) → isso indica que a resposta não depende de médias soltas nem de regra de três entre pontos não consecutivos, e sim da lei de formação de uma função afim.
• Síntese: a estratégia correta é (1) provar que a taxa de crescimento é constante entre todos os pares consecutivos da tabela, (2) montar a função M(a) = M₀ + taxa·a com 1980 como referência e (3) substituir o valor de a correspondente a 2040.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Verificar a taxa de crescimento entre os pontos da tabela

Calculando Δmédicos/Δanos para cada intervalo consecutivo:

• De 1980 a 1985 (5 anos): 162 − 137 = 25 médicos → 25 ÷ 5 = 5 médicos/ano
• De 1985 a 1995 (10 anos): 212 − 162 = 50 médicos → 50 ÷ 10 = 5 médicos/ano
• De 1995 a 2010 (15 anos): 287 − 212 = 75 médicos → 75 ÷ 15 = 5 médicos/ano

Mesmo com intervalos de tamanhos diferentes (5, 10 e 15 anos), a taxa de crescimento é exatamente a mesma nos três casos: 5 médicos por ano. Isso confirma que os quatro pontos estão sobre a mesma reta e que o fenômeno pode ser descrito por uma função afim.

Subpasso 4.2 — Construir a lei de formação da função

Tomando 1980 como ano de referência (a = 0, com M = 137) e chamando de a o número de anos decorridos desde 1980:

M(a) = 137 + 5·a

Verificação com os próprios dados da tabela:

• a = 15 (ano 1995): M = 137 + 5×15 = 137 + 75 = 212 ✓
• a = 30 (ano 2010): M = 137 + 5×30 = 137 + 150 = 287 ✓

O modelo reproduz com exatidão os quatro valores fornecidos, o que valida seu uso para a extrapolação pedida.

Subpasso 4.3 — Projetar o número de médicos em 2040 e conferir

Número de anos entre 1980 e 2040: a = 2040 − 1980 = 60

M(60) = 137 + 5×60 = 137 + 300 = 437

Esse valor corresponde exatamente à alternativa C, confirmando que o modelo linear construído a partir da tabela é a ferramenta correta para resolver a questão.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 387

❌ Incorreta: esse valor é obtido usando a = 50 em vez de a = 60, ou seja, equivale a projetar o número de médicos para o ano de 2030, e não para 2040. É um erro na contagem do intervalo de tempo (faltam 10 anos, o que corresponde a 10 × 5 = 50 médicos a menos que o valor correto).

B) 424

❌ Incorreta: nasce de um erro conceitual clássico — somar o valor inicial da tabela (137, referente a 1980) diretamente ao último valor conhecido (287, de 2010): 287 + 137 = 424. Esse raciocínio confunde "quantidade de médicos existente em 1980" com "variação (crescimento) ocorrida no intervalo de 2010 a 2040", que deveria ser 30 anos × 5 médicos/ano = 150, e não 137.

C) 437

✅ Correta: é o único valor coerente com a taxa constante de 5 médicos por ano, identificada em todos os intervalos da tabela e aplicada corretamente aos 60 anos decorridos entre 1980 e 2040, por meio da função M(a) = 137 + 5a.

D) 574

❌ Incorreta: resulta de tratar o crescimento como exponencial em vez de linear, calculando 287 × 2 = 574 — como se o número de médicos simplesmente dobrasse a cada 30 anos. Esse é o erro clássico de confundir crescimento aditivo (soma constante por período) com crescimento multiplicativo (duplicação), que só faria sentido se a taxa fosse percentual, o que os dados da tabela não sustentam.

E) 711

❌ Incorreta: acumula dois erros seguidos — primeiro duplica o valor de 2010 (287 × 2 = 574, o mesmo erro da alternativa D) e, em seguida, ainda soma o valor inicial da tabela (137), chegando a 574 + 137 = 711. É um erro conceitual duplo, que mistura a suposição indevida de crescimento exponencial com uma adição indevida do termo referente a 1980.

🏆 Gabarito: C — 437 é o único resultado compatível com a taxa constante de 5 médicos por ano observada em todos os intervalos da tabela, aplicada corretamente aos 60 anos que separam 1980 de 2040.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa C é a única que resulta da aplicação correta e completa do modelo M(a) = 137 + 5a para a = 60, validado nos quatro pontos fornecidos pela tabela.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente apresenta tabelas com intervalos de tempo desiguais justamente para testar se o candidato reconhece uma variação constante (função afim) por trás de números aparentemente irregulares, em vez de tratar cada intervalo isoladamente ou supor crescimento percentual sem checar os dados.
• Generalização: sempre que uma tabela mostrar pares (x, y) em que a razão Δy/Δx se mantém igual entre quaisquer dois pontos, o fenômeno é linear (afim), e qualquer projeção deve seguir a lei M = M₀ + taxa·Δx — nunca duplicação arbitrária nem regra de três entre pontos não consecutivos.
• Dica de eliminação rápida: calcule a taxa de variação entre os dois primeiros pontos da tabela; se os demais intervalos mantiverem a mesma razão Δy/Δx, o problema é de função afim. Isso já permite descartar de cara alternativas que sugerem duplicação de valores (indício de raciocínio exponencial, como em D e E).
• Conexões: Progressão Aritmética (a sequência de médicos por ano é uma PA de razão 5), Regra de Três e interpretação de gráficos/tabelas em questões de Matemática e de Ciências da Natureza que envolvem dados estatísticos ao longo do tempo.