Questão 162 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de paralelepípedo retangular e deslocamento de volume)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar três condições dadas em texto corrido (volume total, metade preenchida com água, altura final a 10 cm do topo) em uma única equação de volumes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volume de prismas retangulares e aplicação do princípio de que um sólido totalmente imerso desloca um volume de líquido igual ao seu próprio volume (competência de área do ENEM ligada a grandezas e medidas espaciais).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine a quantidade mínima de pedrinhas de 100 cm³ cada, totalmente imersas, para que o nível da água (que já ocupa metade do vaso) suba até ficar a 10 cm do topo do paralelepípedo."
• Palavras-chave decisivas: metade do volume do vaso (define o volume de água, fixo), totalmente imersas (define que o volume das pedrinhas soma-se ao da água para efeito de nível), 10 cm do topo (define a altura final do conjunto água + pedrinhas).
• Armadilha típica: calcular o volume "vazio" que sobra entre a água e os 10 cm do topo e tratar esse vazio como se fosse o volume das pedrinhas — quando, na verdade, é exatamente o oposto: as pedrinhas ocupam volume dentro da região molhada, empurrando o nível para cima até sobrar apenas o espaço de crescimento da planta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um problema de deslocamento de volume em uma equação simples: volume até a nova altura = volume de água + volume de pedrinhas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do paralelepípedo retangular: V = comprimento × largura × altura. Serve tanto para o vaso cheio quanto para qualquer "fatia" horizontal do vaso até uma altura h, bastando trocar a altura total por h.
• Deslocamento de volume (efeito Arquimedes): quando um sólido é totalmente imerso em um líquido dentro de um recipiente, o nível do líquido sobe exatamente o volume do sólido — por isso o volume do espaço ocupado até a nova altura é sempre igual à soma do volume de líquido com o volume dos sólidos submersos.
• Tradução de fração textual em número: "metade do volume" é 1/2 × V_total; é essencial calcular esse valor antes de montar a equação final, sem confundi-lo com metade de outro volume do problema (como o volume até a altura final).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "medidas internas são: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura" → fornece as três dimensões do vaso, permitindo calcular seu volume total: 40 × 35 × 60 = 84.000 cm³.
• Evidência 2: "seria adequado [...] que metade do volume do vaso fosse preenchida com água" → o volume de água é fixo e vale 84.000 ÷ 2 = 42.000 cm³, independentemente de quantas pedrinhas forem colocadas depois.
• Evidência 3: "após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso" → a altura final do nível (água + pedrinhas submersas) é 60 − 10 = 50 cm, o que define um novo volume de referência a ser calculado com a mesma base do vaso.
• Síntese: o volume das pedrinhas é exatamente a diferença entre "o volume do vaso até 50 cm de altura" e "o volume de água que já estava lá dentro" — porque são as pedrinhas, ao ocupar espaço submerso, que fazem o nível subir de 42.000 cm³ (o volume de água sozinha) até o novo patamar de 50 cm.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume total do vaso e volume de água

O vaso é um paralelepípedo retangular, então seu volume é o produto das três dimensões:

V_total = 40 × 35 × 60 = 84.000 cm³

A pessoa deve colocar água até a metade desse volume:

V_água = 84.000 ÷ 2 = 42.000 cm³

Como conferência geométrica: como a base do vaso (40 × 35 = 1.400 cm²) é constante ao longo de toda a altura, encher metade do volume equivale a encher metade da altura — ou seja, a água sozinha atinge 30 cm (metade de 60 cm), o que bate com 1.400 × 30 = 42.000 cm³. Essa checagem confirma que a interpretação do "metade do volume" está correta.

Subpasso 4.2 — Volume até a altura final e volume das pedrinhas

A condição final é que a água (agora com pedrinhas dentro) fique a 10 cm do topo, isto é, a uma altura de:

h_final = 60 − 10 = 50 cm

O volume do vaso até essa altura é:

V₅₀ = 40 × 35 × 50 = 70.000 cm³

Esse volume de 70.000 cm³ é ocupado por duas coisas: a água que já estava lá (42.000 cm³) e as pedrinhas submersas, que empurram o nível para cima. Logo, o volume ocupado pelas pedrinhas é a diferença:

V_pedrinhas = V₅₀ − V_água = 70.000 − 42.000 = 28.000 cm³

Subpasso 4.3 — Verificação: quantidade mínima de pedrinhas

Cada pedrinha tem volume de 100 cm³. Como a pessoa quer a quantidade mínima que satisfaça exatamente as indicações (nível chegando a 10 cm do topo, nem mais, nem menos), basta dividir o volume necessário pelo volume de cada pedrinha:

n = 28.000 ÷ 100 = 280 pedrinhas

Conferindo pelo caminho inverso: 280 pedrinhas × 100 cm³ = 28.000 cm³; somando à água, 28.000 + 42.000 = 70.000 cm³, que corresponde exatamente a uma altura de 70.000 ÷ 1.400 = 50 cm, ou seja, 10 cm abaixo do topo (60 cm), como pedia o gerente. O resultado bate com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 140.

❌ Incorreta: esse valor vem de calcular o volume vazio que sobra no topo do vaso (acima da altura de 50 cm) — ou seja, 84.000 − 70.000 = 14.000 cm³, dividido por 100. Esse é o erro de confundir o espaço reservado para o crescimento da planta (que deve permanecer vazio) com o volume ocupado pelas pedrinhas, invertendo o sentido físico do problema.

B) 280.

✅ Correta: é o resultado de (V₅₀ − V_água) ÷ 100 = (70.000 − 42.000) ÷ 100 = 280, obtido ao reconhecer que as pedrinhas deslocam volume de água, elevando o nível de 42.000 cm³ até 70.000 cm³.

C) 350.

❌ Incorreta: surge de um erro na definição do volume de água — se alguém interpretar (equivocadamente) que a "metade do volume" se refere à metade do volume até a altura final (70.000 ÷ 2 = 35.000 cm³) em vez da metade do volume total do vaso (84.000 ÷ 2 = 42.000 cm³), obtém V_pedrinhas = 70.000 − 35.000 = 35.000 cm³, e 35.000 ÷ 100 = 350. O erro conceitual é trocar a referência da fração "metade" pedida no enunciado.

D) 420.

❌ Incorreta: corresponde a considerar que as pedrinhas deveriam preencher toda a outra metade do vaso (84.000 − 42.000 = 42.000 cm³), ignorando por completo a condição de que deve sobrar 10 cm livres no topo para o crescimento da planta. Aqui o erro é desconsiderar uma das três informações do enunciado.

E) 700.

❌ Incorreta: resulta de tratar todo o volume até a altura final (V₅₀ = 70.000 cm³) como se fosse inteiramente ocupado pelas pedrinhas, esquecendo de subtrair o volume de água que já estava no vaso. O erro é não aplicar o princípio do deslocamento — a água não desaparece quando as pedrinhas entram, ela continua ocupando parte do espaço.

🏆 Gabarito: B — o volume das pedrinhas é a diferença entre o volume do vaso até 50 cm de altura (70.000 cm³) e o volume de água já presente (42.000 cm³), resultando em 28.000 cm³, que divididos pelos 100 cm³ de cada pedrinha dão exatamente 280 unidades.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a letra B satisfaz simultaneamente as três condições do enunciado — volume total do vaso, metade preenchida com água e nível final a 10 cm do topo — porque nasce da equação correta V_pedrinhas = V(até a altura final) − V_água.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar volume de prismas retangulares em contextos de deslocamento de líquido (aquários, vasos, piscinas, recipientes com objetos submersos), sempre exigindo transformar frases como "metade do volume" ou "faltando X cm para o topo" em expressões numéricas de altura ou volume.
• Generalização: em qualquer problema de objetos totalmente imersos que elevam o nível de um líquido em um recipiente de base constante, use sempre: volume dos objetos = volume do recipiente até a nova altura − volume do líquido original.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro os dois volumes de referência do problema (o volume total e o volume até a altura final) e veja se a alternativa é compatível com uma subtração simples entre eles; alternativas que "sobram" fora desse intervalo (como valores maiores que o volume até a altura final ou baseados no espaço vazio do topo) podem ser descartadas de imediato.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de nível de líquido em piscinas com objetos submersos e em questões de capacidade de reservatórios com volume ocupado por estruturas internas — sempre a lógica de "volume total até certo ponto menos o que já está preenchido".