Questão 158 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções Trigonométricas (função seno aplicada a movimento periódico)
• ⚡ Nível: Médio — exige ler simultaneamente três parâmetros do gráfico (amplitude, período e fase) e não confundir meio ciclo com ciclo completo
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos periódicos por meio da função P(t) = A sen(wt + ϕ); leitura e interpretação de gráficos trigonométricos
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Observando o gráfico do movimento do pistão, qual expressão do tipo A sen(wt + ϕ) descreve corretamente a posição P em função do tempo t?"
• Palavras-chave decisivas: amplitude, período (frequência w), ângulo de fase ϕ
• Armadilha típica: confundir a distância entre dois picos consecutivos com o período correto, ou avaliar mal o instante t = 0 e atribuir uma fase ϕ diferente de zero quando o gráfico já começa exatamente na origem subindo.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair A, w e ϕ diretamente da leitura gráfica e substituí-los corretamente na forma geral A sen(wt + ϕ).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Amplitude (A): metade da distância entre o valor máximo e o valor mínimo atingidos pela curva; é o "quanto" o pistão se afasta da posição de equilíbrio (P = 0) para cima ou para baixo.
• Período (T) e frequência angular (w): o período é o menor intervalo de tempo após o qual o padrão da curva se repete integralmente; a frequência angular é dada por w = 2π/T, e quanto menor o período, maior o valor de w (oscilação mais "apertada").
• Ângulo de fase (ϕ): representa um deslocamento horizontal da curva-padrão sen(wt). Se em t = 0 a função já vale zero e está crescendo, ela se comporta exatamente como o seno "puro", logo ϕ = 0; qualquer adiantamento ou atraso do gráfico em relação a essa referência exige ϕ ≠ 0.
• Função seno de referência: sen(x) vale 0 em x = 0 (subindo), atinge máximo em x = π/2, volta a 0 em x = π, atinge mínimo em x = 3π/2 e retorna a 0 em x = 2π — esse "esqueleto" é o gabarito visual para comparar com qualquer gráfico periódico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (do gráfico): a curva parte exatamente de P(0) = 0 e sobe imediatamente após t = 0 → isso indica que não há deslocamento horizontal em relação ao seno padrão, ou seja, ϕ = 0.
• Evidência 2 (do gráfico): os valores extremos da curva são P = 4 cm (picos) e P = −4 cm (vales) → a amplitude é A = 4.
• Evidência 3 (do gráfico): o primeiro pico ocorre em t = π/4, o cruzamento seguinte por zero (descendo) em t = π/2, o vale em t = 3π/4 e o ciclo se fecha voltando a zero (subindo) em t = π → um ciclo completo dura T = π, logo w = 2π/T = 2.
• Síntese: com A = 4, w = 2 e ϕ = 0, a única forma compatível com o gráfico é P(t) = 4 sen(2t).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a amplitude A

No eixo vertical do gráfico, o pistão oscila entre o valor máximo P = 4 cm e o valor mínimo P = −4 cm. A amplitude é metade dessa variação total:

A = [4 − (−4)] ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4

Logo, A = 4.

Subpasso 4.2 — Determinar o período T e a frequência angular w

Observando o eixo horizontal, a curva sai de P = 0 em t = 0 (subindo), atinge o primeiro pico em t = π/4, cruza novamente o zero (descendo) em t = π/2, atinge o vale em t = 3π/4 e retorna a P = 0 (subindo de novo, repetindo o comportamento inicial) exatamente em t = π. Esse é o menor intervalo em que todo o padrão se repete, portanto:

T = π

Como w = 2π/T:

w = 2π ÷ π = 2

Subpasso 4.3 — Determinar o ângulo de fase ϕ e verificação final

Em t = 0, o gráfico mostra P(0) = 0 e a curva está subindo — comportamento idêntico ao da função seno "pura" sen(wt), que também vale 0 em x = 0 e cresce logo em seguida. Isso significa que não existe atraso nem adiantamento da curva: ϕ = 0.

Substituindo A = 4, w = 2 e ϕ = 0 na forma geral P(t) = A sen(wt + ϕ):

P(t) = 4 sen(2t + 0) = 4 sen(2t)

Verificação com pontos do próprio gráfico:

• t = π/4 → P = 4 sen(2 · π/4) = 4 sen(π/2) = 4 ✅ (coincide com o primeiro pico)
• t = π/2 → P = 4 sen(π) = 0 ✅ (coincide com o cruzamento pelo zero)
• t = 3π/4 → P = 4 sen(3π/2) = −4 ✅ (coincide com o primeiro vale)
• t = π → P = 4 sen(2π) = 0 ✅ (fecha o ciclo exatamente como no gráfico)

Todos os pontos batem perfeitamente com a curva. A expressão está confirmada.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P(t) = 4sen(2t)

✅ Correta: reúne exatamente os três parâmetros lidos no gráfico — amplitude A = 4, frequência angular w = 2 (equivalente a período T = π) e fase ϕ = 0 (a curva parte de zero subindo, sem qualquer deslocamento horizontal).

B) P(t) = −4sen(2t)

❌ Incorreta: o sinal negativo espelha a curva verticalmente. Essa função também vale 0 em t = 0, mas em vez de subir ela desce logo em seguida, atingindo primeiro um vale (mínimo) em t = π/4 e só depois um pico em t = 3π/4 — exatamente o oposto do comportamento observado no gráfico, que sobe imediatamente após a origem.

C) P(t) = −4sen(4t)

❌ Incorreta: acumula dois erros. Além do sinal trocado (mesmo problema da alternativa B, fazendo a curva descer primeiro), o argumento 4t implica w = 4, o que dá um período T = 2π/4 = π/2 — a metade do período real (π). Essa função completaria dois ciclos inteiros no mesmo intervalo em que o gráfico mostra apenas um, oscilando de forma muito mais rápida do que a registrada.

D) P(t) = 4sen(2t + π/4)

❌ Incorreta: mantém corretamente A = 4 e w = 2, mas insere uma fase ϕ = π/4 ≠ 0, deslocando toda a curva para a esquerda. Isso faz com que P(0) = 4 sen(π/4) = 4 · (√2/2) = 2√2 ≈ 2,8 cm, valor diferente de zero — o que contradiz o gráfico, que claramente parte de P = 0 em t = 0. O pico dessa função ocorreria em t = π/8, adiantado em relação ao pico real observado em t = π/4.

E) P(t) = 4sen(4t + π/4)

❌ Incorreta: soma os dois erros anteriores — dobra a frequência angular (w = 4, logo T = π/2, metade do período real) e ainda desloca a fase em π/4. Também resultaria em P(0) = 4 sen(π/4) = 2√2 ≈ 2,8 cm, incompatível tanto com o valor inicial quanto com o período mostrados no gráfico.

🏆 Gabarito: A — Somente P(t) = 4sen(2t) reproduz simultaneamente os três parâmetros extraídos do gráfico: amplitude 4, período π (w = 2) e fase nula, já que a curva parte da origem subindo, sem qualquer deslocamento horizontal.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única que combina corretamente A = 4, w = 2 e ϕ = 0 — os três valores que o próprio gráfico entrega ao candidato que sabe onde procurar (eixo P para a amplitude, distância entre repetições para o período, e o valor/inclinação em t = 0 para a fase).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma trazer gráficos de fenômenos periódicos (pistões, ondas sonoras ou luminosas, marés, batimentos cardíacos) pedindo para reconstituir a expressão algébrica A sen(wt + ϕ) ou A cos(wt + ϕ) a partir da leitura visual da curva, sem exigir cálculo trigonométrico avançado — o desafio está na interpretação gráfica.
• Generalização: para decodificar qualquer gráfico periódico, siga sempre três leituras independentes: (1) A = (Pmáx − Pmín) ÷ 2 pelo eixo vertical; (2) T = distância entre dois pontos idênticos consecutivos do padrão (dois picos, dois vales ou dois cruzamentos-zero subindo) e w = 2π/T; (3) ϕ observando o valor e a inclinação da curva em t = 0 — se P(0) = 0 e a curva sobe, ϕ = 0.
• Dica de eliminação rápida: primeiro observe se a curva sobe ou desce logo após t = 0 — isso elimina de cara as alternativas com sinal trocado (como B e C aqui). Em seguida, verifique se P(0) é realmente zero no gráfico — isso elimina qualquer alternativa com fase ϕ ≠ 0 (como D e E).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em Física no estudo do Movimento Harmônico Simples (MHS), na projeção do Movimento Circular Uniforme sobre um eixo, e em contextos de ondas sonoras e eletromagnéticas.