Questão 156 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Números Racionais (frações, decimais e porcentagens equivalentes) + Raciocínio Lógico-Combinatório
• ⚡ Nível: Difícil — exige converter cinco representações numéricas diferentes para uma base comum e depois aplicar uma regra de contagem pouco intuitiva (valores repetidos contam só uma vez) para maximizar o número de garrafas
• 🎯 Tema/Habilidade: Equivalência entre frações, números decimais e porcentagens, associada à habilidade de resolver problemas com números racionais em contextos do cotidiano (H23/H25 da Matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a pontuação de 7,55 inclui a garrafa de rótulo 6,8 e que rótulos com o mesmo valor contam apenas uma vez, qual é o maior número de garrafas que podem ter sido derrubadas nessa jogada?"
• Palavras-chave decisivas: mesma quantidade... apenas um deles entra na contagem, 7,55 pontos, rótulo 6,8
• Armadilha típica: tentar somar os rótulos "ao pé da letra" sem convertê-los todos para a mesma forma (decimal), ou esquecer que a pergunta pede o número máximo de garrafas — muitos alunos calculam a soma e param no primeiro rótulo compatível, sem perceber que vários rótulos diferentes podem representar o mesmo valor e, portanto, podem ter sido todos derrubados sem alterar a pontuação.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar todos os rótulos que, convertidos, resultam no mesmo valor numérico, e concluir quantas garrafas — no total — poderiam ter sido derrubadas mantendo a soma exata de 7,55.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Conversão fração → decimal: para comparar rótulos escritos como fração, decimal e porcentagem, todos devem ser levados à mesma unidade; basta dividir o numerador pelo denominador (ex.: 9/12 = 9 ÷ 12 = 0,75).
• Conversão porcentagem → decimal: uma porcentagem x% equivale a x/100; assim, 34% = 0,34 e 75% = 0,75.
• Regra da contagem sem repetição: o enunciado impõe que, se dois ou mais rótulos representam o mesmo número, apenas um deles soma pontos — ou seja, a pontuação depende dos valores distintos presentes entre as garrafas derrubadas, não da quantidade de garrafas.
• Maximização combinatória: para descobrir o maior número de garrafas possível, deve-se procurar, entre os valores distintos que compõem a soma, aquele(s) que aparece(m) repetido(s) em vários rótulos — pois essas repetições podem ser todas derrubadas sem mudar o total.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Se dois ou mais rótulos representam a mesma quantidade, apenas um deles entra na contagem dos pontos" → a regra do jogo desacopla "quantidade de garrafas derrubadas" de "quantidade de pontos marcados"; derrubar rótulos repetidos não aumenta a pontuação.
• Evidência 2: "Um aluno marcou 7,55 pontos... Uma das garrafas que ele derrubou tinha o rótulo 6,8" → a pontuação total é conhecida (7,55) e sabemos que um dos valores somados é exatamente 6,8; falta descobrir o(s) outro(s) valor(es) distinto(s) que, somado(s) a 6,8, fecham 7,55.
• Síntese: basta calcular 7,55 − 6,8 = 0,75 e verificar quais rótulos da imagem equivalem a 0,75. Como vários rótulos diferentes podem valer 0,75, todos eles podem ter sido derrubados simultaneamente — isso é o que permite maximizar o número de garrafas sem alterar a soma de pontos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Converter todos os rótulos da imagem para a forma decimal

As dez garrafas do esquema trazem os seguintes rótulos. Convertendo cada um:

| Rótulo | Cálculo | Valor decimal |

|---|---|---|

| 6,8 | já é decimal | 6,80 |

| 9/12 | 9 ÷ 12 | 0,75 |

| 34% | 34/100 | 0,34 |

| 0,75 | já é decimal | 0,75 |

| 3/4 | 3 ÷ 4 | 0,75 |

| 6/8 | 6 ÷ 8 | 0,75 |

| 75% | 75/100 | 0,75 |

| 3,4 | já é decimal | 3,40 |

| 4/3 | 4 ÷ 3 | 1,333... |

| 4,3 | já é decimal | 4,30 |

Subpasso 4.2 — Agrupar os rótulos por valor numérico

Reunindo os rótulos que representam a mesma quantidade:

• Valor 6,80 → apenas o rótulo "6,8" (1 garrafa)
• Valor 0,75 → os rótulos "9/12", "0,75", "3/4", "6/8" e "75%" (5 garrafas diferentes, mesmo valor)
• Valor 0,34 → apenas "34%" (1 garrafa)
• Valor 3,40 → apenas "3,4" (1 garrafa)
• Valor 1,333... → apenas "4/3" (1 garrafa)
• Valor 4,30 → apenas "4,3" (1 garrafa)

O enunciado garante que uma das garrafas derrubadas tem rótulo 6,8, então esse valor (6,80) certamente entra na soma dos pontos. Calculando quanto falta para completar 7,55:

7,55 − 6,80 = 0,75

Ou seja, o(s) outro(s) valor(es) distinto(s) somado(s) pelo aluno totalizam exatamente 0,75. Como todos os demais grupos de valor (0,34; 3,40; 1,333...; 4,30) são estritamente maiores que zero, incluir qualquer um deles na soma faria o total ultrapassar 7,55 — logo, nenhum desses outros valores pode ter sido usado. O único valor compatível é justamente 0,75, e ele já está disponível em cinco rótulos diferentes.

Subpasso 4.3 — Verificação e maximização

Como a regra do jogo diz que rótulos de mesmo valor contam uma única vez na pontuação, o aluno pode ter derrubado todas as cinco garrafas que valem 0,75 (9/12, 0,75, 3/4, 6/8 e 75%) que a soma dos pontos continuaria sendo apenas 6,80 + 0,75 = 7,55 — exatamente o valor informado. Derrubar 1, 2, 3, 4 ou as 5 garrafas de valor 0,75 não muda o placar; portanto, o cenário de maior número de garrafas derrubadas ocorre quando todas elas caem:

Número máximo de garrafas = 1 (rótulo 6,8) + 5 (rótulos equivalentes a 0,75) = 6 garrafas

Verificando: 6,8 + 0,75 = 7,55 ✓ (bate exatamente com a pontuação informada), e nenhuma outra combinação de valores distintos soma 7,55 sem exceder esse total. O valor 6 está entre as alternativas — confirma-se a coerência da resposta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2.

❌ Incorreta: corresponde ao raciocínio incompleto de somar apenas "6,8 + um rótulo de valor 0,75", ignorando que existem outros quatro rótulos com esse mesmo valor que também poderiam ter sido derrubados sem alterar a pontuação. Essa é a quantidade mínima, não a máxima, de garrafas necessárias para fechar 7,55.

B) 3.

❌ Incorreta: supõe que apenas duas garrafas de valor 0,75 (além da 6,8) foram derrubadas, mas nada no enunciado limita esse número a dois — a regra de contagem permite que todas as cinco garrafas equivalentes a 0,75 tenham caído, sem qualquer alteração na soma de pontos.

C) 4.

❌ Incorreta: mesmo raciocínio de subcontagem — considera apenas três das cinco garrafas de valor 0,75 mais a garrafa 6,8, deixando de fora rótulos que também valem exatamente 0,75 (como 6/8 e 75%) e que poderiam perfeitamente ter sido derrubados na mesma jogada.

D) 5.

❌ Incorreta: chega perto do resultado, mas conta apenas quatro das cinco garrafas de valor 0,75 (mais a garrafa 6,8), esquecendo um dos cinco rótulos equivalentes (9/12, 0,75, 3/4, 6/8 ou 75%). Faltou incluir todos os rótulos que resultam no mesmo valor decimal antes de somar as garrafas.

E) 6.

✅ Correta: reúne corretamente a garrafa de rótulo 6,8 com todas as cinco garrafas cujo valor decimal é 0,75 (9/12, 0,75, 3/4, 6/8 e 75%). Como rótulos de mesmo valor contam uma única vez na pontuação, essas seis garrafas derrubadas juntas somam exatamente 6,8 + 0,75 = 7,55 pontos, batendo com o enunciado e representando o maior número possível de garrafas nessa condição.

🏆 Gabarito: E — a soma 7,55 só é atingida com a garrafa 6,8 mais o valor 0,75; como cinco rótulos diferentes equivalem a 0,75, o maior número de garrafas que podem ter caído nessa jogada é 1 + 5 = 6.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: qualquer valor além de 6,8 e 0,75 (isto é, 0,34; 3,40; 1,333... ou 4,30) somado à pontuação ultrapassaria 7,55; logo, o único conjunto de valores distintos compatível é {6,80; 0,75}, e como cinco rótulos representam 0,75, o máximo de garrafas é 6 — nenhuma outra alternativa é matematicamente possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cria questões-armadilha em que frações, decimais e porcentagens aparentemente diferentes escondem o mesmo valor numérico, testando se o aluno converte tudo para uma base comum antes de operar.
• Generalização: sempre que um problema misturar frações, decimais e porcentagens em uma mesma lista, converta TUDO para decimal (ou para a mesma forma) antes de comparar, somar ou agrupar valores — comparar "à vista" costuma induzir a erro.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro 7,55 − 6,8 = 0,75; em seguida, conte quantos rótulos da imagem equivalem a 0,75 (são cinco). Some 1 (da garrafa 6,8) a essa contagem — chega-se direto a 6, eliminando A, B, C e D sem precisar testar cada alternativa isoladamente.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões sobre "conjuntos de valores equivalentes" (razão e proporção) e em problemas de contagem que envolvem eliminar repetições antes de somar — comum em estatística básica (moda, frequência de dados agrupados).