Questão 143 — ENEM 2019 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Função quadrática → determinação dos coeficientes e previsão de valor
• Habilidade: H21 — resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos
• Nível: Médio — a conta é curta, mas exige montar e resolver um sistema de três equações antes de calcular o que foi pedido
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: sabendo que Q é função quadrática de t e conhecendo três pares de valores, calcular Q uma hora depois do último dado.
• Palavras-chave decisivas: função quadrática, após uma hora do último dado coletado.
• A armadilha: continuar a sequência 1, 4, 6 pelo "padrão" das diferenças simples. De 1 para 4 sobem 3, de 4 para 6 sobem 2, e quem apenas olha para o desenho da tabela responde 8 imaginando que agora sobem mais 2, ou 7 por chute. O enunciado não pede padrão: pede a função quadrática que passa pelos três pontos.
• O que a resposta precisa mostrar: que você usa os três pares fornecidos para determinar os três coeficientes e só depois avalia a função no ponto pedido.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Função quadrática: toda função do tipo Q(t) = a × t² + b × t + c, com a ≠ 0. Ela tem três coeficientes desconhecidos, e por isso são necessários três pontos para determiná-la — nem mais, nem menos. É exatamente o número de colunas da tabela.
• Ponto e equação: cada par (t, Q) da tabela vira uma equação. Substituir t na expressão e igualar ao Q correspondente é o único passo que transforma dado em álgebra.
• O valor de c: quando t = 0, sobra Q(0) = c. O termo independente é sempre o valor da função no instante inicial. Isso resolve um dos coeficientes de graça.
• Diferenças finitas: numa função quadrática avaliada em valores igualmente espaçados de t, as diferenças entre termos consecutivos não são constantes, mas as diferenças das diferenças são. É a propriedade que dá o atalho do Passo 4.4 e que separa a função quadrática de uma progressão aritmética.
• Extrapolar não é adivinhar: prever Q(3) só é legítimo porque o enunciado afirma que o comportamento é quadrático. Sem essa informação, três pontos não autorizam nenhuma previsão.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: "Q é uma função quadrática de t" → o modelo está dado. Não é preciso descobrir a forma da lei, só os coeficientes.
• Evidência 2: os dados da tabela → t = 0 hora com Q = 1 miligrama; t = 1 hora com Q = 4 miligramas; t = 2 horas com Q = 6 miligramas.
• Evidência 3: "após uma hora do último dado coletado" → o último dado é t = 2, então o alvo é Q(3). Muita gente calcula Q(2), que já está na tabela, ou Q(1).
• Evidência 4: os valores crescem cada vez menos — de 1 para 4 e de 4 para 6 → a concavidade é para baixo, o coeficiente a é negativo e a substância está se aproximando do pico. Antes de calcular, já se sabe que a resposta será um pouco maior que 6, e não muito.
• Síntese: três pontos, três incógnitas, e o alvo fora da tabela. A leitura das diferenças (3 e depois 2) permite estimar a ordem de grandeza da resposta antes mesmo da conta.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Montar o sistema

Escrevendo Q(t) = a × t² + b × t + c e substituindo cada par da tabela:

• t = 0 e Q = 1 → a × 0 + b × 0 + c = 1 → c = 1
• t = 1 e Q = 4 → a + b + c = 4
• t = 2 e Q = 6 → 4a + 2b + c = 6

4.2 — Resolver o sistema

Com c = 1 já conhecido, as duas últimas equações ficam:

• a + b + 1 = 4 → a + b = 3
• 4a + 2b + 1 = 6 → 4a + 2b = 5

Divido a segunda por 2 para igualar o coeficiente de b:

• 2a + b = 2,5

Subtraio a primeira desta:

• (2a + b) − (a + b) = 2,5 − 3
• a = −0,5

E volto para a + b = 3:

• b = 3 − (−0,5)
• b = 3,5

A lei da função é Q(t) = −0,5 × t² + 3,5 × t + 1. O sinal negativo de a confirma a concavidade para baixo já antecipada no Passo 3.

4.3 — Calcular o valor pedido

O último dado é t = 2, então a previsão é para t = 3:

• Q(3) = −0,5 × 3² + 3,5 × 3 + 1
• Q(3) = −0,5 × 9 + 10,5 + 1
• Q(3) = −4,5 + 10,5 + 1
• Q(3) = 7

4.4 — Verificação pelo caminho das diferenças

Um segundo caminho, que serve de conferência e é mais rápido na prova. As diferenças entre valores consecutivos são:

• de Q(0) = 1 para Q(1) = 4 → +3
• de Q(1) = 4 para Q(2) = 6 → +2

A diferença das diferenças é 2 − 3 = −1, e numa função quadrática ela é constante. Logo a próxima diferença é 2 + (−1) = 1, e:

• Q(3) = 6 + 1 = 7

Os dois métodos dão o mesmo número, e ele é coerente com a leitura qualitativa: um pouco acima de 6, perto do máximo da curva. Gabarito: B.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) 4 — Repete o valor de Q(1). Aparece em quem se perde na contagem do tempo e avalia a função uma hora depois do primeiro dado, não do último. Além disso, 4 é menor que 6, o que exigiria a substância já ter começado a cair antes de t = 3 — algo que a função encontrada só permite depois do vértice, em t = 3,5.

✅ (B) 7 — Valor de Q(3) para Q(t) = −0,5t² + 3,5t + 1, confirmado pelas diferenças finitas: as diferenças 3 e 2 caem de uma unidade a cada hora, então a próxima é 1 e o valor sobe de 6 para 7. Coerente com uma curva de concavidade para baixo que ainda está subindo, mas cada vez mais devagar.

❌ (C) 8 — Resultado de tratar a sequência como progressão aritmética de razão 2, mantendo o acréscimo de Q(1) para Q(2). Isso equivale a supor crescimento linear, e o enunciado diz explicitamente que a relação é quadrática. Numa função de 2º grau com a negativo, os acréscimos têm de diminuir, nunca se repetir.

❌ (D) 9 — Vem de somar de novo o primeiro acréscimo observado, +3, ao valor 6. Além de ignorar o modelo quadrático, contraria a própria tabela: os acréscimos já estavam diminuindo de 3 para 2, então voltar a 3 inverteria a tendência sem nenhuma justificativa nos dados.

❌ (E) 10 — Corresponde a extrapolar como se a taxa de crescimento aumentasse, o que só ocorreria com a positivo. Nesse caso os valores da tabela seriam 1, 4 e 9, e não 1, 4 e 6. A alternativa premia quem associa "quadrática" a "cresce rápido" sem testar o sinal do coeficiente.

Gabarito: B — os três pares da tabela determinam Q(t) = −0,5t² + 3,5t + 1, e substituir t = 3 dá 7 miligramas.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só B se sustenta: as outras quatro nascem de continuar a tabela por um padrão inventado. Só B usa os três pontos para fixar os três coeficientes, que é o que "função quadrática" obriga.
• Como o ENEM cobra isso: o formato é sempre o mesmo — uma tabela pequena, o aviso de que a relação é quadrática e um valor fora da tabela. Já apareceu com concentração de remédio, altura de projétil, lucro de empresa e crescimento de população.
• A regra geral: três coeficientes exigem três pontos. Se a tabela tem exatamente três colunas e o enunciado diz "quadrática", ele está entregando o sistema pronto.
• Eliminação em 30 segundos: calcule as diferenças (3 e 2), depois a diferença das diferenças (−1). A próxima diferença é 1, e a resposta é 6 + 1. Sem montar sistema nenhum.
• Temas que costumam vir junto: vértice e valor máximo (aqui o pico ocorre em t = 3,5 horas), raízes da função quadrática, e a distinção entre progressão aritmética, progressão geométrica e função de 2º grau numa tabela.