Questão 180 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função afim (função do 1º grau: coeficiente angular, coeficiente linear e raiz a partir do gráfico)
• ⚡ Nível: Fácil — basta ler dois pontos no gráfico e montar a reta, mas exige cuidado com o sinal do termo independente.
• 🎯 Tema/Habilidade: Identificação da lei de formação de uma função afim a partir de sua representação gráfica — competência de interpretar gráficos e associá-los a modelos algébricos.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A reta do gráfico corresponde a qual expressão L(t)?"
• Palavras-chave decisivas: "gráfico representa o lucro (L)", "em função do tempo (t)", "representação algébrica"
• Armadilha típica: confundir o valor 3 000 (que é o lucro no dia 20, ponto final do gráfico) com o coeficiente linear da reta — ou seja, com o lucro no instante t = 0. Quem faz isso marca a alternativa E.
• O que a resposta precisa demonstrar: extrair do gráfico o coeficiente angular (taxa de variação) e o coeficiente linear (valor em t = 0) e montar L(t) = at + b.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim: toda reta não vertical tem lei L(t) = a·t + b, em que a é o coeficiente angular (a inclinação) e b é o coeficiente linear (o valor da função quando t = 0, isto é, onde a reta corta o eixo vertical).
• Coeficiente angular: a = ΔL / Δt = (L₂ − L₁) ÷ (t₂ − t₁). Ele mede quanto o lucro varia por dia.
• Coeficiente linear: é lido direto no gráfico, no ponto de encontro da reta com o eixo vertical (t = 0).
• Raiz (zero) da função: é o valor de t em que L(t) = 0 — no gráfico, onde a reta cruza o eixo horizontal. Serve como excelente ponto de conferência.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (o gráfico): a reta corta o eixo vertical em L = −1 000 quando t = 0. Ou seja, no início do mês a loja está no prejuízo de R$ 1 000,00 — esse é o coeficiente linear b = −1 000.
• Evidência 2 (o gráfico): a reta cruza o eixo horizontal em t = 5 (lucro zero) e atinge L = 3 000 em t = 20. Temos, portanto, três pontos confiáveis: (0; −1 000), (5; 0) e (20; 3 000).
• Evidência 3: "começa a obter lucro já na primeira semana" → confirma a leitura: o lucro passa de negativo a positivo no dia 5, dentro da primeira semana. O texto valida o gráfico.
• Síntese: com dois pontos quaisquer da reta calcula-se o coeficiente angular; o coeficiente linear já está dado pelo gráfico (−1 000). Basta montar L(t) = at + b.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o coeficiente angular (quanto o lucro cresce por dia)

Usando os pontos (0; −1 000) e (20; 3 000):

a = ΔL / Δt = [3 000 − (−1 000)] ÷ (20 − 0)

a = 4 000 ÷ 20

a = 200

Ou seja, o lucro cresce R$ 200,00 por dia.

Subpasso 4.2 — Identificar o coeficiente linear

O coeficiente linear é o valor de L quando t = 0, lido diretamente no ponto em que a reta corta o eixo vertical:

b = −1 000

Subpasso 4.3 — Montar a lei da função

Substituindo a e b em L(t) = a·t + b:

L(t) = 200t − 1 000

Subpasso 4.4 — Verificação nos três pontos do gráfico

• Em t = 0: L(0) = 200 × 0 − 1 000 = −1 000 ✓ (bate com o ponto onde a reta corta o eixo vertical)
• Em t = 5: L(5) = 200 × 5 − 1 000 = 1 000 − 1 000 = 0 ✓ (bate com a raiz, o cruzamento no eixo horizontal)
• Em t = 20: L(20) = 200 × 20 − 1 000 = 4 000 − 1 000 = 3 000 ✓ (bate com o valor final indicado no gráfico)

Os três pontos conferem, o que confirma a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) L(t) = 20t + 3 000

❌ Incorreta: o coeficiente angular 20 significaria um crescimento de apenas R$ 20,00 por dia — dez vezes menor que o real. Além disso, em t = 0 essa função vale +3 000, ou seja, colocaria a loja lucrando R$ 3 000,00 já no início do mês, quando o gráfico mostra prejuízo de R$ 1 000,00.

B) L(t) = 20t + 4 000

❌ Incorreta: comete os dois erros de uma vez. O 4 000 vem de confundir a variação total do lucro (de −1 000 até 3 000) com o valor inicial, e o 20 subestima a inclinação. Em t = 0 daria L = 4 000, valor que sequer aparece no gráfico.

C) L(t) = 200t

❌ Incorreta: acerta a inclinação (R$ 200,00 por dia), mas esquece o coeficiente linear. Essa reta passaria pela origem, ou seja, o lucro em t = 0 seria zero e a loja nunca teria estado no prejuízo — contradizendo o −1 000 marcado no gráfico. Em t = 20 daria 4 000, e não 3 000.

D) L(t) = 200t − 1 000

✅ Correta: a inclinação a = (3 000 − (−1 000)) ÷ 20 = 200 reproduz o crescimento de R$ 200,00 por dia, e o termo −1 000 reproduz o prejuízo inicial lido no eixo vertical. A função confere nos três pontos do gráfico: L(0) = −1 000, L(5) = 0 e L(20) = 3 000.

E) L(t) = 200t + 3 000

❌ Incorreta: acerta a inclinação, mas troca o sinal e o valor do coeficiente linear, tomando o 3 000 (que é o lucro no dia 20) como se fosse o lucro no dia 0. Essa função daria L(20) = 7 000, muito acima do gráfico, e jamais passaria pelo prejuízo inicial nem cruzaria o eixo em t = 5.

🏆 Gabarito: D — A reta tem inclinação 200 (o lucro sobe R$ 200,00 por dia) e corta o eixo vertical em −1 000, logo L(t) = 200t − 1 000 — expressão que confere nos pontos (0; −1 000), (5; 0) e (20; 3 000).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D reproduz simultaneamente o prejuízo inicial de R$ 1 000,00 (coeficiente linear negativo) e o crescimento de R$ 200,00 por dia (coeficiente angular). As demais erram a inclinação, o valor inicial, ou os dois.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra função afim principalmente na ida gráfico → fórmula, usando contextos de lucro, custo, consumo e velocidade. A banca sempre oferece uma alternativa com o coeficiente angular certo e o linear errado (aqui, C e E) para pegar quem calcula pela metade.
• Generalização: para achar a lei de uma reta a partir do gráfico, extraia dois pontos claros (o mais fácil costuma ser o cruzamento com os eixos), calcule a = ΔL/Δt e leia b no eixo vertical. Depois teste a fórmula em um terceiro ponto — se bater, acabou.
• Dica de eliminação rápida: olhe primeiro onde a reta corta o eixo vertical. É −1 000, e negativo — logo, qualquer alternativa com termo independente positivo ou nulo cai na hora: A, B, C e E morrem de uma vez, sem precisar calcular a inclinação.
• Conexões: raiz e sinal da função afim (ponto de equilíbrio entre lucro e prejuízo, o break-even); taxa de variação como grandeza física (velocidade média); sistemas lineares na comparação de dois planos de custo.