Questão 153 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (Poliedros e Relação de Euler)
• ⚡ Nível: Fácil — basta aplicar diretamente a Relação de Euler, sem necessidade de visualizar ou classificar o sólido.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação de Euler para poliedros convexos (V − A + F = 2), aplicando modelagem matemática a um contexto de mineralogia.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um poliedro convexo com 30 arestas e 20 vértices, calcule o número de faces."
• Palavras-chave decisivas: poliedro convexo, 30 arestas, 20 vértices
• Armadilha típica: tentar "adivinhar" o sólido geométrico (será que é um icosaedro? um dodecaedro truncado?) em vez de perceber que o problema é puramente algébrico e se resolve com uma única fórmula.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da Relação de Euler (V − A + F = 2), válida para todo poliedro convexo, e capacidade de isolar a incógnita F a partir dos dados fornecidos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Poliedro: sólido geométrico limitado por polígonos planos (as faces), que se encontram em segmentos (as arestas) e em pontos (os vértices).
• Poliedro convexo: poliedro em que qualquer segmento de reta ligando dois pontos do sólido está inteiramente contido nele — ou seja, não possui "reentrâncias". Essa condição é exatamente a que garante a validade da Relação de Euler.
• Relação de Euler: para todo poliedro convexo (e, de modo mais geral, para todo poliedro euleriano), vale a igualdade V − A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
• Papel do contexto (mineralogia): o enunciado sobre a granada e o "hábito cristalino" é apenas um invólucro narrativo do ENEM para tornar a questão mais interessante; matematicamente, ele só serve para fornecer os valores de V e A.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "poliedro com 30 arestas e 20 vértices" → fornece diretamente A = 30 e V = 20, os dois dados numéricos necessários para a fórmula.
• Evidência 2: "Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo" → essa frase é a autorização explícita para usar a Relação de Euler, pois ela só é garantida para poliedros convexos (ou eulerianos). Sem essa hipótese, a fórmula poderia falhar.
• Evidência 3: "a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo" → deixa claro que a incógnita procurada é F (faces), e não V ou A.
• Síntese: o problema entrega V e A e pede F, sob a garantia de convexidade — ou seja, é uma aplicação direta e literal de V − A + F = 2, sem nenhum passo geométrico adicional.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os dados e a fórmula

Do enunciado, temos:

• Número de vértices: V = 20
• Número de arestas: A = 30
• Número de faces: F = ? (incógnita)

Como o poliedro é convexo, aplica-se a Relação de Euler:

V − A + F = 2

Subpasso 4.2 — Substituir os valores e isolar F

Substituindo V = 20 e A = 30 na fórmula:

20 − 30 + F = 2

−10 + F = 2

F = 2 + 10

F = 12

Subpasso 4.3 — Verificação

Vale conferir se o resultado é fisicamente coerente: um poliedro convexo com V = 20, A = 30 e F = 12 é exatamente a estrutura do dodecaedro regular (12 faces pentagonais, 20 vértices, 30 arestas) — o que é consistente com o hábito cristalino da granada, mineral conhecido por formar cristais dodecaédricos rômbicos (12 faces em forma de losango). Substituindo de volta: 20 − 30 + 12 = 2 ✓, confirmando a Relação de Euler. O valor F = 12 corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10.

❌ Incorreta: esse valor surgiria de um erro de sinal na Relação de Euler, por exemplo calculando F = 2 − V + A de forma trocada (F = 2 − 20 + 30 = 12, correto) ou de somas equivocadas como V + A − 2 realizada incorretamente. Não corresponde a nenhuma substituição correta da fórmula com os dados fornecidos.

B) 12.

✅ Correta: aplicando corretamente V − A + F = 2 com V = 20 e A = 30, obtém-se F = 2 − 20 + 30 = 12. Esse é o único valor compatível com a Relação de Euler para os dados do enunciado, e coincide com a estrutura real de um cristal de granada (12 faces pentagonais rômbicas).

C) 25.

❌ Incorreta: valor obtido por um erro comum de manipulação da fórmula, como somar V + A e dividir por algum fator sem seguir a estrutura correta da equação (por exemplo, confundir a relação com uma média aritmética entre vértices e arestas). Não satisfaz V − A + F = 2, pois 20 − 30 + 25 = 15 ≠ 2.

D) 42.

❌ Incorreta: resultaria de somar diretamente V + A (20 + 30 = 50) e depois subtrair um valor incorreto, ou de aplicar a fórmula com sinais trocados (F = V + A − 2 × 4, por exemplo). Testando: 20 − 30 + 42 = 32 ≠ 2, não satisfaz a Relação de Euler.

E) 50.

❌ Incorreta: é exatamente o valor de V + A = 20 + 30 = 50, obtido por quem ignora completamente a Relação de Euler e apenas soma os dois dados fornecidos, sem perceber que essa soma não representa o número de faces. Testando: 20 − 30 + 50 = 40 ≠ 2, confirmando que essa alternativa é uma armadilha para quem não aplica a fórmula corretamente.

🏆 Gabarito: B — com V = 20 e A = 30, a Relação de Euler (V − A + F = 2) fornece F = 12, o único valor que satisfaz a equação e representa corretamente o número de faces do poliedro convexo descrito.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única alternativa que, substituída na Relação de Euler junto com V = 20 e A = 30, satisfaz a igualdade V − A + F = 2. Todas as demais falham no teste algébrico direto.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma "vestir" a Relação de Euler com contextos aplicados — mineralogia, arquitetura, embalagens, arte — mas o núcleo matemático é sempre o mesmo: fornecer dois dos três elementos (V, A, F) e pedir o terceiro.
• Generalização: sempre que um problema mencionar um poliedro convexo (ou afirmar explicitamente essa condição) e fornecer dois entre vértices, arestas e faces, a Relação de Euler V − A + F = 2 resolve a questão em uma única substituição algébrica — não é necessário identificar ou visualizar o sólido.
• Dica de eliminação rápida: teste mentalmente cada alternativa na fórmula V − A + F = 2. Qualquer valor que resulte em um total diferente de 2 pode ser descartado instantaneamente; isso elimina em segundos as opções que resultam de somas ingênuas (como V + A, a "armadilha" da alternativa E).
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a questões sobre classificação de poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro) e a problemas de contagem de diagonais de poliedros, temas frequentemente associados à Relação de Euler no ENEM.