Questão 149 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem)
• ⚡ Nível: Médio — o princípio multiplicativo em si é simples, mas a questão exige identificar com precisão que apenas uma única sequência de dígitos (0000) está proibida, e não recalcular tudo a partir de restrições erradas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de possibilidades com restrição, mobilizando a competência de área 5 da Matriz de Referência do ENEM (modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas usando representações algébricas e combinatórias).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas placas distintas no formato LLL-NNNN (3 letras + 4 algarismos) podem existir, sabendo que a sequência de algarismos '0000' é proibida?"
• Palavras-chave decisivas: "os três primeiros caracteres devem ser letras", "os quatro últimos devem ser algarismos", "Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero"
• Armadilha típica: trocar multiplicação por adição entre o bloco de letras e o bloco de dígitos (como se as duas escolhas fossem alternativas e não simultâneas), ou interpretar a restrição de forma exagerada, como se cada algarismo individualmente não pudesse ser zero.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do princípio multiplicativo para combinar escolhas independentes e capacidade de excluir corretamente um único caso proibido de um total maior, sem distorcer a contagem.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo): se uma tarefa é dividida em etapas independentes, sendo a primeira realizável de m maneiras e a segunda de n maneiras, então a tarefa completa pode ser realizada de m × n maneiras. Escolhas simultâneas e independentes se multiplicam — nunca se somam.
• Contagem com repetição permitida: quando os elementos de uma sequência podem se repetir (aqui, letras podem repetir entre si e dígitos podem repetir entre si), o total de sequências possíveis com k posições e n símbolos disponíveis é n^k.
• Exclusão de um caso proibido (contagem complementar): se dentro de um total conhecido de possibilidades existe uma quantidade específica de casos inválidos, o número de casos válidos é total − casos proibidos. É essencial contar exatamente quantos casos violam a regra, nem mais, nem menos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto)" → cada uma das 3 primeiras posições da placa tem 26 opções independentes, e nada no texto impede repetição de letras (uma placa como "AAA-1234" é válida).
• Evidência 2: "os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9)" → cada uma das 4 últimas posições tem 10 opções (0 a 9), também podendo repetir.
• Evidência 3: "Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero" → a restrição não é sobre um dígito isolado, mas sobre a sequência completa formada pelos quatro algarismos: apenas a combinação "0000" é banida, qualquer outra (inclusive "0001", "1000", "0100" etc.) é permitida.
• Síntese: o total de placas válidas é o produto entre o número de combinações de letras e o número de combinações de dígitos que não sejam "0000" — ou seja, 26³ (letras) multiplicado por (10⁴ − 1) (dígitos válidos).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contagem do bloco de letras

As três primeiras posições da placa são preenchidas livremente com qualquer uma das 26 letras do alfabeto, podendo repetir. Pelo princípio multiplicativo:

26 × 26 × 26 = 26³ combinações possíveis para o trio de letras.

Subpasso 4.2 — Contagem do bloco de algarismos, sem restrição

As quatro últimas posições são preenchidas livremente com qualquer algarismo de 0 a 9, também podendo repetir:

10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ combinações possíveis, caso não houvesse nenhuma restrição.

Subpasso 4.3 — Aplicando a restrição do enunciado

Dentre essas 10⁴ sequências de dígitos, exatamente uma delas corresponde a "todos os algarismos iguais a zero", isto é, a sequência "0000". Essa é a única sequência proibida pelo enunciado. Logo, o número de blocos de dígitos válidos é:

10⁴ − 1 = 9999.

Subpasso 4.4 — Combinando os dois blocos

Como a escolha do trio de letras é totalmente independente da escolha do quarteto de dígitos, o total de placas válidas é o produto entre as duas contagens (princípio multiplicativo aplicado uma segunda vez, agora entre os dois blocos):

Total = 26³ × (10⁴ − 1)

Subpasso 4.5 — Verificação numérica

26³ = 17.576 e 10⁴ − 1 = 9.999, logo Total = 17.576 × 9.999 = 175.742.424 placas — bem maior que o sistema antigo de seis caracteres, confirmando o "aumento significativo" citado no texto. A expressão que traduz esse raciocínio é 26³ × (10⁴ − 1).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 26³ + 9⁴

❌ Incorreta: soma os blocos de letras e dígitos como se fossem alternativas excludentes, quando são escolhas simultâneas que devem ser multiplicadas; além disso, usa 9⁴ para os dígitos, como se cada posição individual proibisse o zero — mas a regra proíbe só a sequência "0000" como um todo.

B) 26³ × 9⁴

❌ Incorreta: multiplica corretamente os blocos, mas erra a contagem dos dígitos. O termo 9⁴ supõe que cada uma das 4 posições só pudesse usar 9 dos 10 algarismos (zero banido em qualquer posição). Isso não corresponde ao enunciado: "ABC-1023" é válida mesmo contendo um zero; só "0000" (todos simultaneamente zero) é proibido.

C) 26³ × (10⁴ − 1)

✅ Correta: aplica o princípio multiplicativo entre os dois blocos independentes (letras e dígitos) e, dentro do bloco de dígitos, exclui exatamente o único caso proibido — a sequência "0000" — subtraindo 1 do total de 10⁴ sequências. É a tradução matemática exata da restrição do texto.

D) (26³ + 10⁴) − 1

❌ Incorreta: soma os dois blocos em vez de multiplicá-los, violando o princípio multiplicativo. E subtrair apenas 1 do total somado não corresponde à estrutura do problema, que exige subtrair 1 dentro do bloco de dígitos, antes de multiplicar pelo bloco de letras.

E) (26³ × 10⁴) − 1

❌ Incorreta: monta corretamente o produto 26³ × 10⁴, mas erra na exclusão. Subtrair só 1 do produto final remove apenas uma placa específica, quando na verdade existem 26³ placas proibidas (uma para cada trio de letras, todas terminadas em "0000"). Ao fatorar corretamente, 26³×10⁴ − 26³ = 26³×(10⁴−1) — e não 26³×10⁴ − 1.

🏆 Gabarito: C — a única expressão que traduz corretamente a multiplicação entre o bloco de 26³ combinações de letras e o bloco de (10⁴ − 1) combinações válidas de dígitos, após excluir com precisão a única sequência proibida ("0000").

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra C é a única alternativa que respeita simultaneamente o princípio multiplicativo (letras × dígitos, nunca letras + dígitos) e a contagem exata da restrição (excluir apenas 1 sequência de dígitos, não 9⁴ nem apenas 1 do total geral).
• Padrão de cobrança: o ENEM explora contextos reais (placas, senhas, CPF, cartões) para testar o princípio multiplicativo combinado a pequenas restrições — a dificuldade está em identificar onde e quantos casos excluir, não na multiplicação em si.
• Generalização: em blocos de escolhas independentes e simultâneas, multiplique as contagens de cada bloco; quando houver restrição sobre uma sequência específica (não sobre posições isoladas), subtraia o número de sequências proibidas do total daquele bloco, antes de multiplicar pelos demais.
• Dica de eliminação rápida: descarte alternativas com "+" entre letras e dígitos (elimina A e D); depois, verifique se a subtração do caso proibido ocorre dentro do bloco correto (elimina B, que usa 9⁴, e E, que subtrai 1 do produto todo).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em contagem de senhas com restrição e em espaços amostrais de probabilidade definidos por sequências alfanuméricas — ambos usam princípio multiplicativo + contagem complementar.