Questão 138 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (propriedades operatórias e leitura de intervalos)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar a propriedade do logaritmo do produto com a interpretação de um quadro de intervalos numéricos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de funções logarítmicas a fenômenos naturais (escala Richter) — Modelagem e resolução de problemas com grandezas
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a magnitude M do terremoto substituindo A e f na fórmula dada e descubra, pelo quadro, qual é o efeito correspondente a esse valor de M."
• Palavras-chave decisivas: M = log(A × f) + 3,3, A = 1 000 e f = 0,2, log(0,2) ≈ −0,7
• Armadilha típica: tentar calcular log(200) "no bruto" sem usar a propriedade do logaritmo do produto, travando a questão, ou multiplicar A × f primeiro e esquecer de aplicar a aproximação fornecida para log(0,2) — sem ela não é possível concluir a conta apenas com log(1000) = 3.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe separar log(A × f) em log A + log f, substitui os valores numéricos corretamente, soma os termos com atenção ao sinal negativo e localiza o resultado dentro do intervalo certo do quadro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Propriedade do logaritmo do produto: log(a × b) = log a + log b, para a, b > 0. É a chave para "abrir" a expressão log(A × f) em duas parcelas mais simples de calcular.
• Logaritmo de potências de 10: log(10ⁿ) = n. Como A = 1 000 = 10³, log(1 000) = 3 é um valor exato, sem precisar de calculadora ou tabela.
• Leitura de tabelas com intervalos: o quadro do enunciado organiza os efeitos do terremoto em faixas de magnitude delimitadas por desigualdades (por exemplo, 5,4 < M ≤ 6,0). É preciso identificar em qual faixa o valor calculado de M se encaixa, respeitando se o limite é aberto ou fechado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "M = log(A × f) + 3,3" → define a fórmula central: a magnitude depende do logaritmo do produto amplitude × frequência, somado a uma constante.
• Evidência 2: "A = 1 000 micrômetros e f = 0,2 hertz" → fornece os valores numéricos que devem substituir A e f na fórmula.
• Evidência 3: "Use −0,7 como aproximação para log(0,2)" → é o dado que destrava a resolução: como log(200) não é um valor "redondo", o examinador dá pronto o valor de log(0,2) para que o candidato monte a soma log(1 000) + log(0,2) em vez de calcular log(200) diretamente.
• Síntese: a fórmula, os valores de A e f e a aproximação de log(0,2) formam, juntos, todos os ingredientes para calcular M por meio da propriedade do logaritmo do produto; o valor final de M deve então ser confrontado com o quadro de efeitos para escolher a alternativa correta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o produto A × f e decompor o logaritmo

Substituindo os valores na expressão log(A × f):

A × f = 1 000 × 0,2 = 200

log(A × f) = log(1 000 × 0,2)

Em vez de calcular log(200) diretamente, aplica-se a propriedade do logaritmo do produto, separando o cálculo em duas partes já conhecidas:

log(1 000 × 0,2) = log(1 000) + log(0,2)

Subpasso 4.2 — Substituir os valores conhecidos e somar

log(1 000) = log(10³) = 3 (valor exato, pois 1 000 é potência de 10)

log(0,2) ≈ −0,7 (valor fornecido pelo enunciado)

Logo:

log(A × f) = 3 + (−0,7) = 2,3

Agora aplica-se a fórmula completa da magnitude:

M = log(A × f) + 3,3 = 2,3 + 3,3 = 5,6

Subpasso 4.3 — Verificação: localizar M = 5,6 no quadro

O quadro fornecido no enunciado organiza os efeitos em cinco faixas:

• M ≤ 3,5 → registrado, mas não percebido
• 3,5 < M ≤ 5,4 → percebido, pequenos tremores
• 5,4 < M ≤ 6,0 → destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas
• 6,0 < M ≤ 6,9 → destrutivo, consequências para todo tipo de edificação
• 6,9 < M ≤ 7,9 → destrutivo, com danos a fundações, fendas no solo e tubulações no subsolo

Como 5,4 < 5,6 ≤ 6,0, o valor calculado se encaixa exatamente na terceira faixa, que descreve um terremoto destrutivo com consequências significativas em edificações pouco estruturadas. Essa descrição corresponde literalmente à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) registrado, mas não percebido pelas pessoas.

❌ Incorreta: essa descrição corresponde à faixa M ≤ 3,5. Como M = 5,6 é bem maior que 3,5, essa faixa não se aplica — o erro conceitual é ignorar que o valor calculado já é significativamente superior ao limite mais baixo do quadro.

B) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.

❌ Incorreta: corresponde à faixa 3,5 < M ≤ 5,4. O valor M = 5,6 ultrapassa o limite superior de 5,4 dessa faixa, então o terremoto já é classificado como destrutivo, não apenas "percebido com pequenos tremores".

C) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.

✅ Correta: corresponde exatamente à faixa 5,4 < M ≤ 6,0, onde se encaixa o valor calculado M = 5,6.

D) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.

❌ Incorreta: essa descrição corresponde à faixa 6,0 < M ≤ 6,9. O valor M = 5,6 não atinge 6,0, portanto essa faixa (que exige consequências para "todo tipo" de edificação, inclusive as bem estruturadas) é mais severa do que o resultado real permite.

E) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.

❌ Incorreta: corresponde à faixa mais extrema do quadro, 6,9 < M ≤ 7,9. O valor calculado (5,6) está muito abaixo desse patamar, tornando essa alternativa uma superestimação grosseira do efeito real do terremoto.

🏆 Gabarito: C — a aplicação da propriedade do logaritmo do produto (log 1 000 + log 0,2 = 3 − 0,7 = 2,3) leva a M = 2,3 + 3,3 = 5,6, valor que se encaixa exatamente na faixa 5,4 < M ≤ 6,0 do quadro, correspondente a um terremoto destrutivo com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: M = 5,6 é o único valor compatível com os dados fornecidos, e ele cai exatamente dentro do intervalo 5,4 < M ≤ 6,0 do quadro, o que torna a alternativa C a única resposta possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma inserir fórmulas logarítmicas em contextos de ciências naturais (terremotos, pH, decibéis, datação por carbono) justamente para testar se o estudante sabe manipular propriedades de logaritmo dentro de um problema aplicado, quase sempre fornecendo aproximações prontas para evitar cálculos "impossíveis" sem calculadora.
• Generalização: sempre que aparecer log de um produto ou quociente com números "não redondos", separe a expressão em log de potências de 10 (que são exatas) somadas ou subtraídas de aproximações fornecidas no próprio enunciado — isso transforma um cálculo aparentemente complexo em uma soma simples.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente log(1 000) = 3 (é imediato, pois 1 000 = 10³) e some com o valor de log(0,2) dado na questão; qualquer alternativa cujo texto descreva uma faixa muito distante do valor obtido (muito abaixo ou muito acima) pode ser eliminada sem nem precisar reler o quadro inteiro.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "escala logarítmica" aparece em questões sobre pH (concentração de H⁺), intensidade sonora em decibéis e crescimento populacional/juros compostos — todas usam log(produto) = log a + log b como ferramenta central.