Questão 157 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas diretamente e inversamente proporcionais aplicadas à equação de estado dos gases
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está nas contas, e sim em combinar corretamente dois efeitos proporcionais simultâneos (um direto, outro inverso) dentro da mesma equação
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade composta em contexto físico — resolver situação-problema que envolve grandezas direta e inversamente proporcionais
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se o volume do gás cai pela metade e a temperatura quadruplica ao mesmo tempo, qual é a nova pressão P1 em função da pressão inicial P0?"
• Palavras-chave decisivas: reduzindo seu volume à metade, temperatura ser quadruplicada, (P·V)/T é sempre constante
• Armadilha típica: tratar os dois efeitos (redução do volume e aumento da temperatura) como se agissem no mesmo sentido sobre a pressão, ou aplicar apenas um dos dois fatores de proporcionalidade — erros que levam às respostas P1 = P0/2, P1 = 2P0 ou P1 = P0.
• O que a resposta precisa demonstrar: isolar P na equação de estado do gás, substituir V1 e T1 em função de V0 e T0, e simplificar corretamente a fração resultante, combinando uma proporcionalidade inversa (com V) e uma direta (com T).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Equação de estado do gás ideal: (P·V)/T = k (constante), válida em qualquer momento da vida desse gás — antes e depois de qualquer transformação, desde que ele não vaze.
• Proporcionalidade inversa (P e V): a temperatura fixa, diminuir o volume pela metade obriga a pressão a dobrar, pois o produto P·V precisa permanecer com o mesmo valor relativo.
• Proporcionalidade direta (P e T): a volume fixo, multiplicar a temperatura por um fator k multiplica a pressão pelo mesmo fator k, já que P e T crescem juntos para manter o quociente constante.
• Comparação entre dois estados de um mesmo gás: como (P·V)/T é constante, pode-se igualar a razão do estado inicial com a do estado final: P0V0/T0 = P1V1/T1. Essa é a ferramenta central da questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o valor do quociente (P·V)/T é sempre constante" → define a lei física-matemática que rege a transformação: o mesmo valor de k vale antes e depois do procedimento.
• Evidência 2: "reduzindo seu volume à metade" → informa que V1 = V0/2, ou seja, o volume final é a metade do inicial.
• Evidência 3: "a temperatura do gás ser quadruplicada" → informa que T1 = 4·T0, ou seja, a temperatura final é quatro vezes a inicial.
• Síntese: com V1 e T1 escritos em função de V0 e T0, e sabendo que P0V0/T0 = P1V1/T1, basta substituir os valores de V1 e T1 e isolar P1 em função de P0 — um problema de proporcionalidade composta disfarçado de física.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a igualdade entre os dois estados

Como (P·V)/T é constante para o mesmo gás, o quociente calculado antes do procedimento é igual ao quociente calculado depois:

P0·V0/T0 = P1·V1/T1

Subpasso 4.2 — Substituir V1 = V0/2 e T1 = 4·T0

P0·V0/T0 = P1·(V0/2) / (4·T0)

O lado direito pode ser reescrito juntando os fatores do denominador:

P0·V0/T0 = P1·V0 / (8·T0)

Como V0/T0 aparece dos dois lados da igualdade e V0, T0 ≠ 0 (o reservatório está cheio de gás, com volume e temperatura positivos), esse fator pode ser cancelado:

P0 = P1/8

Isolando P1:

P1 = 8·P0

Subpasso 4.3 — Verificação

Basta confirmar que o valor de P1 encontrado devolve o mesmo k inicial:

P1·V1/T1 = (8·P0)·(V0/2) / (4·T0) = (8·P0·V0) / (8·T0) = P0·V0/T0 ✓

O resultado bate exatamente com o quociente do estado inicial, confirmando que P1 = 8·P0 é consistente com a lei (P·V)/T = constante. Entre as cinco alternativas, apenas a letra E apresenta esse valor.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P1 = P0/8

❌ Incorreta: essa alternativa inverte completamente o sentido da transformação, como se reduzir o volume e aumentar a temperatura fizessem a pressão cair 8 vezes. Isso contraria as duas relações de proporcionalidade envolvidas: diminuir V (a T constante) deveria aumentar P, não diminuir.

B) P1 = P0/2

❌ Incorreta: essa resposta considera apenas metade do efeito do volume (e ainda com o sinal trocado) e ignora completamente o efeito da temperatura quadruplicada. Ao esquecer o fator de T, o aluno perde 3/4 da transformação real da pressão.

C) P1 = P0

❌ Incorreta: essa alternativa parte da ideia (equivocada) de que os dois efeitos se cancelariam exatamente, como se dividir o volume por 2 e multiplicar a temperatura por 4 gerassem fatores iguais e opostos sobre P. Mas 2 ≠ 4: os fatores não são simétricos, e por isso não há cancelamento — a pressão efetivamente muda.

D) P1 = 2·P0

❌ Incorreta: essa alternativa surge de um erro comum de "misturar" os fatores de forma incorreta (por exemplo, dividir o fator da temperatura pelo fator do volume: 4/2 = 2) em vez de multiplicá-los, que é o procedimento correto quando os dois efeitos atuam simultaneamente e no mesmo sentido sobre a pressão.

E) P1 = 8·P0

✅ Correta: reduzir o volume à metade multiplica a pressão por 2 (proporcionalidade inversa: dividir V por 2 equivale a multiplicar P por 1/(1/2) = 2, a temperatura constante), e quadruplicar a temperatura multiplica a pressão por 4 (proporcionalidade direta, a volume constante). Como as duas transformações ocorrem ao mesmo tempo, os fatores se multiplicam: 2 × 4 = 8, resultando em P1 = 8·P0 — exatamente o que a manipulação algébrica da equação de estado confirmou.

🏆 Gabarito: E — a combinação da proporcionalidade inversa entre P e V com a proporcionalidade direta entre P e T faz os fatores se multiplicarem (2 × 4 = 8), levando a P1 = 8·P0.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única compatível com a equação P0V0/T0 = P1V1/T1 quando V1 = V0/2 e T1 = 4T0; qualquer outra alternativa exige ignorar um dos dois efeitos ou somar/subtrair fatores em vez de multiplicá-los.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora usar leis físicas simples (gases, hidrostática, gravitação) como pretexto para cobrar raciocínio proporcional puro — a "roupagem" é de Física, mas a habilidade avaliada é manipular uma proporção composta.
• Generalização: sempre que uma grandeza (aqui, P) depender de outras duas por meio de uma equação do tipo P = k·T/V, o efeito total sobre P é o produto dos fatores individuais: multiplique o fator de crescimento de T pelo fator de "encolhimento" de V (o inverso da razão de variação de V).
• Dica de eliminação rápida: identifique os dois fatores separados (aqui, ×4 pela temperatura e ×2 pela redução do volume) e multiplique-os — isso já elimina alternativas que apenas somam, subtraem ou usam um único fator isolado.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em hidrostática (vazão, pressão e área), em escalas e mapas, e em problemas de rendimento de máquinas (trabalho, tempo e número de operários).