Questão 151 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Equações do 1º grau com uma incógnita e frações
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir um enunciado longo, com relações em cadeia entre os tempos, para uma única equação linear
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem e resolução de problemas contextualizados por meio de equações do 1º grau (competência de área — resolução de situações-problema usando conhecimentos algébricos)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a soma dos quatro tempos individuais é 325 s, e que cada tempo se relaciona com o tempo do primeiro corredor por meio de diferenças e de uma fração, descubra o tempo do quarto (último) corredor."
• Palavras-chave decisivas: "tempo total de 325 segundos", "mais rápido", "3/4 do tempo realizado pelo primeiro"
• Armadilha típica: interpretar "mais rápido" como soma (em vez de subtração), aplicar a fração 3/4 sobre o corredor errado (o terceiro, em vez do primeiro) ou, após calcular corretamente o tempo do primeiro corredor, responder esse valor em vez do tempo do último — que é o que a pergunta pede.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de escrever todos os tempos em função de uma única incógnita (o tempo do primeiro corredor), montar a equação da soma total, resolvê-la corretamente e, por fim, aplicar o resultado à variável certa (o último corredor, não o primeiro).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Equação do 1º grau com uma incógnita: igualdade entre expressões algébricas em que a variável aparece elevada apenas à primeira potência; resolve-se isolando-a por meio de operações inversas.
• Tradução de linguagem natural para linguagem matemática: expressões como "X segundos mais rápido do que" indicam subtração de tempo; "em 3/4 do tempo de" indica multiplicação por uma fração.
• Operações com frações e eliminação de denominador: ao somar termos com coeficiente fracionário (como 3/4), é mais seguro reduzir tudo a um denominador comum antes de isolar a incógnita, evitando erros de cálculo.
• Relações encadeadas (dependência entre variáveis): quando um dado é definido "a partir do anterior" (o terceiro em relação ao segundo, que por sua vez depende do primeiro), é preciso respeitar a ordem da cadeia e não pular etapas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "tempo total de 325 segundos" → a soma dos quatro tempos individuais (t₁ + t₂ + t₃ + t₄) é igual a 325.
• Evidência 2: "o segundo corredor... correu... 15 segundos mais rápido do que o primeiro" → correr mais rápido significa gastar menos tempo, logo t₂ = t₁ − 15.
• Evidência 3: "o terceiro realizou seus 400 metros 5 segundos mais rápido que o segundo corredor" → a comparação é com o segundo (não com o primeiro), logo t₃ = t₂ − 5, o que, substituindo t₂, dá t₃ = t₁ − 20.
• Evidência 4: "o último realizou seu percurso em 3/4 do tempo realizado pelo primeiro" → a fração incide sobre o tempo do primeiro corredor, logo t₄ = (3/4)·t₁.
• Síntese: todas as quatro variáveis podem ser reescritas exclusivamente em função de t₁. Substituindo essas expressões na equação da soma total, obtém-se uma única equação linear em t₁, cuja solução permite calcular t₄ — a resposta pedida.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Definindo as variáveis em função de t₁

Seja t₁ o tempo (em segundos) do primeiro corredor. Então:

• t₂ = t₁ − 15
• t₃ = t₂ − 5 = (t₁ − 15) − 5 = t₁ − 20
• t₄ = (3/4)·t₁

Subpasso 4.2 — Montando e resolvendo a equação da soma total

A soma dos quatro tempos é 325 segundos:

t₁ + t₂ + t₃ + t₄ = 325

t₁ + (t₁ − 15) + (t₁ − 20) + (3/4)t₁ = 325

Agrupando os termos com t₁ e as constantes separadamente:

(1 + 1 + 1 + 3/4)·t₁ − (15 + 20) = 325

(15/4)·t₁ − 35 = 325

Isolando o termo com t₁:

(15/4)·t₁ = 325 + 35 = 360

Multiplicando ambos os lados por 4/15 (o inverso de 15/4) para isolar t₁:

t₁ = 360 × 4/15 = 1440/15 = 96

Logo, o primeiro corredor completou seus 400 m em 96 segundos.

Subpasso 4.3 — Calculando t₄ e verificando o resultado

Com t₁ = 96, calcula-se o tempo do último corredor:

t₄ = (3/4) × 96 = 288/4 = 72 segundos

Verificação com todos os quatro tempos:

• t₁ = 96 s
• t₂ = 96 − 15 = 81 s
• t₃ = 81 − 5 = 76 s
• t₄ = (3/4)×96 = 72 s

Soma: 96 + 81 + 76 + 72 = 325 s ✓ (confere exatamente com o enunciado)

O tempo do último atleta foi, portanto, 72 segundos, valor presente entre as alternativas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 58

❌ Incorreta: 58 não satisfaz o sistema montado a partir do enunciado. Um caminho que se aproxima desse valor surge de aplicar a fração 3/4 sobre o tempo do terceiro corredor (76 s), e não sobre o do primeiro, como o texto exige: 3/4 × 76 = 57 s, valor muito próximo de 58. Esse erro nasce de perder o referencial correto ("3/4 do tempo realizado pelo primeiro") e usar por engano o último dado numérico manipulado na cadeia de cálculos.

B) 61

❌ Incorreta: esse valor tende a surgir de uma estimativa grosseira que ignora as relações individuais dadas no enunciado — por exemplo, dividir o tempo total igualmente entre os quatro corredores (325 ÷ 4 = 81,25 s, como se todos corressem em tempos iguais) e aplicar 3/4 sobre essa média: 3/4 × 81,25 ≈ 60,9 ≈ 61 s. O erro conceitual é tratar os quatro tempos como uniformes, quando o próprio enunciado descreve diferenças específicas (15 s, 5 s) entre eles.

C) 69

❌ Incorreta: esse valor aparece quando a cadeia de comparações é quebrada. Se o estudante interpretar "o terceiro... 5 segundos mais rápido que o segundo" como se fosse em relação ao primeiro (fazendo t₃ = t₁ − 5, em vez de t₃ = t₂ − 5 = t₁ − 20), a equação muda para (1+1+1+3/4)t₁ − 20 = 325, que resulta em t₁ = 92 e t₄ = 3/4 × 92 = 69. O erro conceitual é não encadear corretamente as comparações relativas — cada corredor deve ser comparado com o corredor imediatamente anterior, e não sempre com o primeiro.

D) 72

✅ Correta: é exatamente o valor obtido ao resolver corretamente o sistema — t₁ = 96 s, t₂ = 81 s, t₃ = 76 s e t₄ = 72 s, cuja soma bate com os 325 segundos informados no enunciado. Esse é o tempo do último atleta da equipe ganhadora.

E) 96

❌ Incorreta: 96 é o valor correto de t₁ (tempo do primeiro corredor), não de t₄. Essa alternativa é a armadilha clássica para quem realiza toda a álgebra corretamente, mas erra na etapa final ao "esquecer" que a pergunta pede o tempo do último corredor, e não o valor da incógnita principal usada para montar a equação.

🏆 Gabarito: D — o tempo do último atleta da equipe ganhadora foi de 72 segundos, obtido ao resolver a equação (15/4)t₁ − 35 = 325, que fornece t₁ = 96 s, e em seguida calcular t₄ = 3/4 × 96 = 72 s.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas t₄ = 72 s satisfaz simultaneamente as três condições do enunciado (diferença de 15 s, diferença de 5 s e fração de 3/4) e a soma total de 325 s; qualquer outro valor quebra ao menos uma dessas relações quando verificado.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente apresenta situações-problema do cotidiano (esportes, compras, misturas, idades) em que várias grandezas são descritas em relação umas às outras, exigindo que o estudante monte uma única equação com uma incógnita bem escolhida — nesse caso, o tempo do primeiro corredor foi a escolha estratégica, pois todos os demais dependem dele.
• Generalização: em problemas com relações encadeadas ("o segundo depende do primeiro, o terceiro depende do segundo..."), escreva sempre cada nova variável em função da anterior e, ao final, substitua tudo na equação, expressando todas as incógnitas em termos de uma única variável-base antes de somar.
• Dica de eliminação rápida: depois de resolver, sempre confira qual grandeza a pergunta pede — se o valor de t₁ (96) aparecer entre as alternativas, desconfie: é armadilha para quem resolveu certo, mas respondeu a variável errada. Fazer a verificação somando os quatro tempos calculados (aqui, 96+81+76+72=325) é a forma mais rápida e segura de confirmar a resposta antes de marcar.
• Conexões: esse tipo de questão se conecta diretamente com sistemas de equações do 1º grau e com problemas de proporcionalidade e frações aplicadas, temas recorrentes em outras questões de matemática básica do ENEM.