Questão 141 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função afim aplicada a custos (taxa fixa + tarifa variável)
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige atenção total à unidade dos dados (mensal × período total)
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem e comparação de planos com custo fixo e custo variável (função de 1º grau) — leitura crítica de dados quantitativos em situação-problema
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quanto o fabricante ganha ou perde, no total dos 6 meses, ao trocar o Plano A pelo Plano B, sabendo que enviará 650 kg no período inteiro?"
• Palavras-chave decisivas: 6 meses, 650 quilogramas durante todo o período, taxa fixa mensal
• Armadilha típica: tratar os 650 kg como se fossem uma quantidade mensal (repetida em cada um dos 6 meses) em vez de um total já acumulado do período — ou esquecer de multiplicar a taxa fixa mensal pelos 6 meses do contrato.
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular o custo total de cada plano (fixo × meses + tarifa × peso total), comparar os dois valores e concluir corretamente se a troca foi vantajosa e por qual diferença exata em reais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim de custo: C(x) = a + b·x, em que a é o custo fixo do período (taxa mensal × número de meses) e b é o custo variável por unidade (tarifa por kg).
• Custo fixo vs. custo variável: a taxa fixa é cobrada independentemente da quantidade enviada; a tarifa por quilograma cresce proporcionalmente ao peso total despachado.
• Ponto de equilíbrio (break-even): existe um peso total para o qual os dois planos custam exatamente o mesmo. Abaixo desse peso, o plano com tarifa por kg mais alta (mas taxa fixa menor) tende a ser mais barato — é exatamente o caso aqui, como a resolução vai confirmar.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "taxa fixa mensal no valor de R$ 500,00... tarifa de R$ 4,00 por... quilograma" → parâmetros do Plano A: fixo = R$ 500/mês; variável = R$ 4/kg.
• Evidência 2: "taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00... tarifa... sobe para R$ 6,00" → parâmetros do Plano B: fixo = R$ 200/mês; variável = R$ 6/kg.
• Evidência 3: "por um período de 6 meses" e "enviar apenas 650 quilogramas de mercadoria durante todo o período" → duração do contrato = 6 meses; 650 kg é o total do período inteiro, não por mês.
• Síntese: basta montar o custo total de cada plano usando 6 meses de taxa fixa somados a 650 kg de tarifa variável, e depois comparar os dois resultados.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Custo total do Plano A (o que ele deixaria de pagar)

C_A = (taxa fixa × meses) + (tarifa por kg × peso total)

C_A = (500 × 6) + (4 × 650)

C_A = 3000 + 2600

C_A = R$ 5 600,00

Subpasso 4.2 — Custo total do Plano B (o que ele efetivamente vai pagar)

C_B = (200 × 6) + (6 × 650)

C_B = 1200 + 3900

C_B = R$ 5 100,00

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar os dois totais

Diferença = C_A − C_B = 5600 − 5100 = R$ 500,00

Como C_B < C_A, o Plano B é R$ 500,00 mais barato do que o Plano A seria, considerando os 6 meses e os 650 kg totais. Isso confirma que a troca foi uma boa decisão, com economia exata de R$ 500,00 — valor que bate perfeitamente com a alternativa A.

Verificação extra (break-even): igualando 500 + 4x = 200 + 6x, obtém-se x = 150 kg/mês, ou seja, 900 kg em 6 meses seria o ponto de empate. Como 650 kg < 900 kg, o fabricante está abaixo do break-even, e por isso o Plano B (taxa fixa menor) realmente sai mais barato — o sinal do resultado (B mais barato) está coerente com a teoria.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o plano A custaria.

✅ Correta: é exatamente o valor calculado em 4.3 — C_A − C_B = R$ 5 600,00 − R$ 5 100,00 = R$ 500,00, com o Plano B sendo mais vantajoso.

B) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1 500,00 a menos do que o plano A custaria.

❌ Incorreta: o sinal está certo (B é mais barato), mas o valor está errado. Esse número surge de um erro comum: calcular a taxa fixa do Plano B para apenas 1 mês (R$ 200) em vez de multiplicá-la pelos 6 meses do contrato (R$ 1 200), o que reduz artificialmente o custo total de B e infla a diferença para R$ 1 500,00.

C) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1 000,00 a mais do que o plano A custaria.

❌ Incorreta: inverte a conclusão (diz que a troca foi ruim). Esse erro nasce do oposto do anterior: usar a taxa fixa do Plano A para apenas 1 mês (R$ 500) em vez de R$ 3 000,00 para os 6 meses, o que faz o Plano A parecer artificialmente mais barato e o Plano B parecer pior.

D) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1 300,00 a mais do que o plano A custaria.

❌ Incorreta: também inverte a conclusão. Esse resultado aparece quando se usa por engano a taxa fixa do Plano A (R$ 500/mês) no cálculo do Plano B, em vez da taxa fixa correta do Plano B (R$ 200/mês) — uma troca de dados entre os planos que distorce totalmente a comparação.

E) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 6 000,00 a mais do que o plano A custaria.

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão — tratar os 650 kg como uma quantidade mensal (o que daria 650 × 6 = 3 900 kg no período), em vez de reconhecer que 650 kg já é o total do período inteiro. Ao inflar o peso, ambos os custos disparam e a diferença muda de sinal, gerando essa alternativa incorreta.

🏆 Gabarito: A — o Plano B custa, ao todo nos 6 meses, R$ 500,00 a menos do que o Plano A custaria (R$ 5 100,00 contra R$ 5 600,00), confirmando que a troca foi uma decisão financeiramente boa para o fabricante.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A traz simultaneamente o sinal correto (B é mais barato) e o valor exato (R$ 500,00) obtido ao multiplicar corretamente cada taxa fixa pelos 6 meses e cada tarifa pelos 650 kg totais do período.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a esse formato — comparação de dois planos de serviço (entrega, telefonia, energia, transporte por aplicativo) com taxa fixa e tarifa variável, testando se o candidato monta corretamente uma função afim e interpreta as unidades de tempo e quantidade do enunciado.
• Generalização: antes de montar qualquer equação de custo do tipo "taxa fixa + tarifa por unidade", identifique com precisão a que se refere cada número (valor mensal ou total do período; quantidade mensal ou total) — o erro mais comum não está na conta, mas na unidade errada entrando na fórmula.
• Dica de eliminação rápida: calcule o ponto de equilíbrio entre os planos (aqui, 900 kg em 6 meses). Como o fabricante enviará apenas 650 kg — abaixo do equilíbrio —, o plano de taxa fixa menor (B) obrigatoriamente será mais barato; isso já elimina de cara as alternativas que dizem "decisão ruim" (C, D e E), restando escolher entre A e B pelo valor exato.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de sistemas lineares (interseção de retas de custo) e em comparações de planos de celular/internet — temas recorrentes em função afim no ENEM.