Questão 146 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (eventos sucessivos e independentes; regra do produto)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curtíssima, mas a banca monta armadilhas fortes com os números 18, 40 e 1/3, e é fácil calcular só metade do problema.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade de eventos em sequência (sorteio em duas etapas) — competência de resolver situação-problema envolvendo conhecimentos de probabilidade.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "O sorteio tem duas etapas — primeiro a sala, depois o aluno. Qual a chance de a aluna da sala C ser a sorteada no fim das duas?"
• Palavras-chave decisivas: "primeiro, será sorteada uma sala", "posteriormente, será sorteado um aluno dessa sala", "aquela aluna específica"
• Armadilha típica: responder 1/18 — a chance de ela ser escolhida dentro da sala C. Isso só valeria se a sala C já estivesse garantida. Mas a sala ainda precisa ser sorteada, e ela pode nem ser chamada.
• O que a resposta precisa demonstrar: perceber que são dois eventos em sequência e que a probabilidade final é o produto das duas etapas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade simples: P = casos favoráveis ÷ casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis.
• Regra do produto (eventos sucessivos): se um resultado exige que o evento X e depois o evento Y aconteçam, então P(X e Y) = P(X) × P(Y|X). O "e" da linguagem vira multiplicação.
• Sorteio de sala é equiprovável: são três salas (A, B e C) e o enunciado não dá peso a nenhuma delas — sorteia-se uma sala, não um aluno. Logo, cada sala tem chance 1/3, independentemente de quantos alunos abriga. É esse detalhe que torna o sorteio "injusto" e a questão interessante.
• Segunda etapa condicionada: já dentro da sala sorteada, o aluno é escolhido entre os que estão ali — e só entre eles.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "primeiro, será sorteada uma sala e, posteriormente, será sorteado um aluno dessa sala" → o processo tem duas etapas encadeadas. Para a aluna ganhar, as duas precisam dar certo.
• Evidência 2: "na C, 18 alunos" e "ela está na sala C" → na segunda etapa, ela concorre com mais 17 colegas, ou seja, é 1 entre 18.
• Evidência 3: "essa turma foi dividida em três salas, A, B e C" → são três salas concorrendo igualmente na primeira etapa: 1/3 para cada.
• Síntese: os dados 10 e 12 (alunos das salas A e B) e o total de 40 são distratores: não entram na conta, porque o sorteio da sala não é proporcional ao número de alunos. O que importa é 1/3 na primeira etapa e 1/18 na segunda.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Probabilidade da 1ª etapa: sortear a sala C

São 3 salas (A, B e C) e apenas uma é a favorável (C):

P(sala C) = 1/3

Observe que o número de alunos não influencia essa etapa: sorteia-se a sala, não o aluno. A sala C tem 18 alunos, mas continua valendo apenas uma "ficha" no sorteio, igual às outras duas.

Subpasso 4.2 — Probabilidade da 2ª etapa: sortear justamente aquela aluna, dentro da sala C

Sorteada a sala C, o sorteio ocorre entre os 18 alunos que estão nela, e a aluna é 1 deles:

P(a aluna | sala C) = 1/18

Subpasso 4.3 — Combinar as duas etapas (regra do produto)

A aluna só é sorteada se a sala C sair e ela for escolhida dentro da sala C. Como são eventos sucessivos, multiplicamos:

P = P(sala C) × P(a aluna | sala C)

P = 1/3 × 1/18

P = 1 / (3 × 18)

P = 1/54

Subpasso 4.4 — Verificação

Confira pela consistência do modelo: a probabilidade total, somada sobre todos os 40 alunos, tem de dar 1. Cada aluno da sala A tem chance 1/3 × 1/10 = 1/30; cada um da B, 1/3 × 1/12 = 1/36; cada um da C, 1/3 × 1/18 = 1/54. Somando todos:

10 × (1/30) + 12 × (1/36) + 18 × (1/54) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 ✓

O modelo fecha perfeitamente, o que confirma o valor 1/54. Note ainda que 1/54 < 1/40: como a sala C é a mais cheia, um aluno dela é menos favorecido do que seria num sorteio direto entre os 40 — a chance é a da alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/3

❌ Incorreta: 1/3 é apenas a probabilidade da primeira etapa — a de a sala C ser sorteada. Parar aqui significa supor que, escolhida a sala, a aluna seria automaticamente a vencedora, ignorando que ela ainda disputa com outros 17 colegas.

B) 1/18

❌ Incorreta: é a probabilidade condicional, válida só depois que a sala C já foi sorteada. Ela responde a "qual a chance de ser ela, sabendo que a sala C saiu?", mas o enunciado pede a chance total, incluindo o risco de a sala C nem ser escolhida. Faltou multiplicar por 1/3.

C) 1/40

❌ Incorreta: esse seria o resultado se o sorteio fosse feito diretamente entre os 40 alunos da turma, em uma única etapa. Mas o sorteio é em duas etapas e sorteia salas com pesos iguais — o que desiguala as chances individuais (1/30 na sala A, 1/36 na B, 1/54 na C).

D) 1/54

✅ Correta: a aluna precisa que a sala C seja sorteada (1/3) e que ela seja escolhida entre os 18 alunos dessa sala (1/18). Pela regra do produto: 1/3 × 1/18 = 1/54.

E) 7/18

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma etapa nem produto do problema — é um valor absurdamente alto (≈ 39%) para a chance de uma pessoa específica entre 40 ser sorteada. Uma checagem de bom senso já a descarta.

🏆 Gabarito: D — O sorteio tem duas etapas encadeadas: a sala C sai com probabilidade 1/3 e, dentro dela, a aluna é escolhida com probabilidade 1/18; pelo produto, 1/3 × 1/18 = 1/54.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só 1/54 leva em conta as duas etapas do sorteio. As alternativas A e B são exatamente as duas metades do cálculo, oferecidas separadamente para capturar quem parar no meio do caminho.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora sorteios em duas fases (sorteia-se um grupo, depois um indivíduo do grupo) justamente porque o resultado contraria a intuição: alunos de salas cheias ficam em desvantagem. Fique atento à palavra "primeiro… posteriormente".
• Generalização: sempre que o enunciado descrever etapas encadeadas ligadas por "e depois", multiplique as probabilidades: P(total) = P(1ª etapa) × P(2ª etapa dado que a 1ª ocorreu). E confirme o modelo somando as chances de todos os indivíduos: o total tem de dar 1.
• Dica de eliminação rápida: o resultado de um produto de duas frações menores que 1 é menor que qualquer uma delas. Logo, a resposta tem de ser menor que 1/3 e menor que 1/18 — o que mata A, B e E de imediato, deixando só 1/40 e 1/54 na disputa.
• Conexões: probabilidade condicional e teorema da probabilidade total; árvore de possibilidades; princípio multiplicativo da contagem.