Questão 154 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (proporcionalidade e leitura de gráfico linear)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir um gráfico sem valores no eixo vertical em uma expressão algébrica e depois comparar dois cenários diferentes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Depreciação linear de bens (função afim decrescente) — competência de modelagem matemática de situações financeiras a partir de representações gráficas (H25/H26 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que dois bens se depreciam linearmente até zero em 10 anos, calcule a diferença entre seus valores após 8 anos de uso."
• Palavras-chave decisivas: depreciação linear, após 10 anos... valor zero, após 8 anos, diferença
• Armadilha típica: calcular quanto cada bem perdeu de valor (desvalorização) em vez de quanto ainda vale após 8 anos — ou inverter a proporção e usar 8/10 do valor original em vez de 2/10.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a função afim V(t) = V₀·(10-t)/10 a partir do gráfico e aplicá-la corretamente às duas situações antes de subtrair os resultados.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (linear): função do tipo f(x) = ax + b, cujo gráfico é uma reta. Aqui, o valor monetário do bem varia de forma constante (mesma "queda" a cada ano), característica típica de depreciação linear.
• Depreciação linear: modelo contábil em que o bem perde uma fração fixa e igual do seu valor a cada período, até atingir zero exatamente no fim da vida útil estipulada (aqui, 10 anos).
• Proporcionalidade (regra de três): se o bem se anula em 10 anos, o valor restante após t anos é sempre a mesma fração (10-t)/10 do valor pago inicialmente — essa fração é igual para qualquer bem, pois o gráfico de todos eles tem a mesma inclinação relativa (parte do valor total e chega a zero em 10 anos).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "após 10 anos o valor monetário de um bem será zero" → define o ponto (10, 0) da reta, comum a qualquer bem nesse regime de depreciação, independentemente do preço pago.
• Evidência 2: o gráfico mostra uma reta decrescente partindo de um valor inicial no eixo vertical (t=0) até tocar o eixo horizontal em t=10 → confirma que o modelo é V(t) = V₀ - (V₀/10)·t, ou seja, uma função afim com valor inicial V₀ e taxa de depreciação constante de V₀/10 por ano.
• Evidência 3: "pagando 1 200 e 900 dólares, respectivamente" e "após 8 anos" → fornece os dois valores iniciais (V₀) que devem ser substituídos na mesma fórmula, avaliada no mesmo instante t = 8.
• Síntese: a questão não pede o gráfico específico de A ou B (que teriam inclinações diferentes), mas usa o mesmo modelo estrutural — reta que vai de V₀ até 0 em 10 anos — aplicado a dois valores de compra distintos. Basta calcular V(8) para cada bem e subtrair.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a função de depreciação linear

Como o valor cai de V₀ (em t = 0) até 0 (em t = 10) de forma linear, a fração do valor original que resta após t anos é dada por:

V(t) = V₀ · (10 - t) / 10

Essa expressão nasce diretamente do gráfico: em t = 0, V(0) = V₀ (ponto de partida no eixo vertical); em t = 10, V(10) = V₀ · 0/10 = 0 (ponto onde a reta toca o eixo do tempo). Como é uma função afim (reta), qualquer ponto intermediário segue essa mesma proporção.

Subpasso 4.2 — Calcular o valor de cada bem após 8 anos

Para t = 8, a fração restante do valor original é:

(10 - 8) / 10 = 2/10 = 1/5 = 0,2

Ou seja, após 8 anos, resta exatamente 20% do valor pago — faz sentido, pois em 8 dos 10 anos de vida útil o bem já perdeu 80% do seu valor.

• Bem A (comprado por 1 200 dólares):

V_A(8) = 1 200 × 0,2 = 240 dólares

• Bem B (comprado por 900 dólares):

V_B(8) = 900 × 0,2 = 180 dólares

Subpasso 4.3 — Verificação

A diferença pedida entre os valores monetários após 8 anos é:

V_A(8) - V_B(8) = 240 - 180 = 60 dólares

Conferindo pela via direta (sem calcular V_A e V_B separadamente): como ambos os bens usam o mesmo fator 1/5 em t = 8, a diferença dos valores restantes é igual à diferença dos valores pagos multiplicada por esse fator:

(1 200 - 900) × 1/5 = 300 × 1/5 = 60 dólares ✅

Os dois caminhos batem exatamente em 60, que corresponde à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 30

❌ Incorreta: resultaria de um erro de cálculo do fator de depreciação (por exemplo, usar 1/10 em vez de 1/5, fazendo 300 × 1/10 = 30). Ignora que em t = 8 restam 2/10 (não 1/10) do valor original.

B) 60

✅ Correta: é a diferença real entre os valores residuais dos bens após 8 anos — V_A(8) = 240, V_B(8) = 180, logo 240 - 180 = 60. Também obtida diretamente por (1 200 - 900) × (2/10) = 60.

C) 75

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma combinação coerente do modelo linear com esses valores; costuma surgir de uma leitura equivocada do gráfico, como se a depreciação parasse em um ponto intermediário fixo em dólares (não em fração do tempo).

D) 240

❌ Incorreta: é o valor residual do bem A isoladamente (V_A(8) = 240), não a diferença entre A e B. Erro típico de quem calcula apenas um dos bens e esquece de comparar com o outro.

E) 300

❌ Incorreta: é a diferença entre os valores pagos originalmente (1 200 - 900 = 300), sem aplicar a depreciação. Ignora completamente a passagem dos 8 anos e trata o problema como se fosse t = 0.

🏆 Gabarito: B — após 8 anos, cada bem retém apenas 1/5 (20%) do seu valor de compra; logo V_A(8) = 240 e V_B(8) = 180, cuja diferença é 60 dólares.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única que reflete corretamente a subtração dos valores residuais (não dos valores pagos) no instante t = 8, usando o fator de depreciação (10-t)/10 = 2/10 extraído do gráfico.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora usar gráficos "genéricos" (sem números no eixo y) para forçar o aluno a extrair a lei da função a partir da geometria da reta — aqui, os dois pontos-âncora são (0, V₀) e (10, 0).
• Generalização: sempre que um gráfico linear liga um valor inicial a zero num tempo T, o valor restante em qualquer instante t é V₀ · (T-t)/T — uma regra de três disfarçada de função afim. Memorize esse "atalho da fração restante" para depreciação, resfriamento linear, esvaziamento de reservatório, etc.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a fração de tempo já decorrida (8/10 = 80% depreciado, então resta 20%) e aplique aos DOIS valores antes de subtrair — isso elimina de cara a alternativa E (que ignora o tempo) e a D (que só usa um dos bens).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de juros simples (variação linear no tempo), em problemas de mistura/diluição com taxa constante e em interpretação de gráficos de posição × tempo em Movimento Retilíneo Uniforme (Física), onde a inclinação da reta também representa uma taxa constante de variação.