Questão 136 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de Equações Lineares (modelagem de situação-problema)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir um texto para duas equações e perceber a condição implícita de que o cartão foi preenchido por completo nas duas vezes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de sistema linear 2×2 aplicado a capacidade total fixa dividida entre dois tipos de arquivo (vídeo e foto).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra quantas fotos, sozinhas, cabem por completo no cartão de memória, sabendo quanto de vídeo e quantas fotos ele já armazenou por inteiro em duas ocasiões diferentes."
• Palavras-chave decisivas: "encheu... duas vezes", "mesma qualidade", "exclusivamente fotos"
• Armadilha típica: somar diretamente 190 + 150 = 340 fotos, como se o vídeo não ocupasse espaço nenhum no cartão.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar um sistema de duas equações (uma para cada vez que o cartão foi enchido) e resolvê-lo para achar a capacidade total do cartão em "unidades de foto".

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema de equações lineares: conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas; resolver o sistema significa achar valores que satisfaçam todas as condições simultaneamente.
• Igualdade de capacidades: quando duas combinações diferentes de itens preenchem exatamente a mesma capacidade total, as expressões que as representam podem ser igualadas — isso elimina uma incógnita sem precisar de uma terceira equação.
• Conversão de unidades por proporcionalidade: transformar "espaço ocupado por 1 minuto de vídeo" em "quantidade equivalente de fotos" usando a razão encontrada entre as duas incógnitas.
• Modelagem matemática de situação real: traduzir frases do cotidiano ("encheu o cartão", "armazenar exclusivamente fotos") em linguagem algébrica precisa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes" → revela que, nas duas ocasiões, a capacidade total C do cartão foi totalmente atingida — ou seja, as duas somas de espaço utilizado são iguais entre si e iguais a C.
• Evidência 2: "10 minutos de vídeo e 190 fotos" / "15 minutos de vídeo e 150 fotos" → fornece dois pares (vídeo, foto) que resultam na mesma capacidade C, permitindo montar duas equações com as incógnitas v (espaço de 1 min de vídeo) e f (espaço de 1 foto).
• Evidência 3: "Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos" → garante que v e f são constantes nas duas capturas — condição necessária para que o sistema de equações tenha sentido físico.
• Síntese: como C é o mesmo nas duas ocasiões, basta igualar as duas expressões (10v + 190f) e (15v + 150f), isolar a razão entre v e f, e depois reescrever C inteiramente em unidades de f para obter o número máximo de fotos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema de equações

Seja v o espaço ocupado por 1 minuto de vídeo e f o espaço ocupado por 1 foto (mesma unidade de medida, por exemplo MB). Seja C a capacidade total do cartão. Como o cartão foi completamente preenchido nas duas vezes:

1ª vez: 10v + 190f = C (i)

2ª vez: 15v + 150f = C (ii)

Subpasso 4.2 — Igualando as duas expressões

Como (i) e (ii) valem o mesmo C, pode-se igualá-las diretamente:

10v + 190f = 15v + 150f

190f − 150f = 15v − 10v

40f = 5v

v = 8f

Interpretação física: 1 minuto de vídeo ocupa o mesmo espaço que 8 fotos — coerente, já que um vídeo é formado por dezenas de quadros por segundo, exigindo muito mais dados do que uma única foto.

Subpasso 4.3 — Verificação cruzada

Substituindo v = 8f na equação (i):

C = 10v + 190f = 10(8f) + 190f = 80f + 190f = 270f

Conferindo na equação (ii), para garantir consistência:

C = 15v + 150f = 15(8f) + 150f = 120f + 150f = 270f ✔

As duas equações batem exatamente em 270f, confirmando que a capacidade total do cartão equivale ao espaço de 270 fotos. Logo, se a pessoa quiser armazenar exclusivamente fotos (com a mesma qualidade das anteriores), o número máximo é 270.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 200.

❌ Incorreta: corresponde a assumir, sem resolver o sistema, que 1 minuto de vídeo ocupa o mesmo espaço que 1 foto (v = f), calculando C = 10(1f) + 190f = 200f. Esse raciocínio ignora que o vídeo carrega muito mais informação por unidade de tempo do que uma foto isolada, ou seja, descarta a real razão de conversão (v = 8f) obtida ao comparar as duas situações do enunciado.

B) 209.

❌ Incorreta: é o tipo de valor que surge ao manipular o sistema de forma inconsistente — por exemplo, errando a subtração ao eliminar a incógnita v ou dividindo os coeficientes na ordem errada, o que gera uma razão entre vídeo e foto diferente de 8. Ao contrário da solução correta, esse valor não se sustenta quando testado simultaneamente nas duas equações (i) e (ii) — a verificação cruzada falha, sinal claro de erro de manipulação algébrica.

C) 270.

✅ Correta: é o único valor que satisfaz simultaneamente as duas equações do sistema, com v = 8f confirmado por substituição cruzada em ambas as capturas descritas no enunciado.

D) 340.

❌ Incorreta: resulta de somar diretamente os totais de fotos das duas capturas (190 + 150 = 340), como se o vídeo não ocupasse espaço nenhum no cartão. Esse é o erro conceitual mais comum da questão: tratar as duas quantidades de fotos como "compatíveis para soma direta", ignorando que parte da capacidade do cartão, nas duas ocasiões, já estava sendo usada pelos vídeos.

E) 475.

❌ Incorreta: surge ao calcular a razão fotos-por-minuto usando isoladamente os dados da primeira captura (190 ÷ 10 = 19 "fotos equivalentes" por minuto de vídeo) e aplicar essa razão de forma incoerente ao total combinado de minutos de vídeo das duas capturas (10 + 15 = 25 min), somando ainda o total de fotos da primeira captura: 190 + 15×19 = 475. O erro está em misturar dados de duas situações independentes por meio de uma regra de três isolada, em vez de resolver corretamente o sistema com as duas equações completas.

🏆 Gabarito: C — a capacidade do cartão, expressa em unidades de foto, é C = 270f, obtida ao igualar as duas expressões de capacidade total e substituir a razão v = 8f de volta em qualquer uma das equações originais.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa C (270) é a única que satisfaz simultaneamente as duas equações geradas pelo enunciado — testada e confirmada nas duas capturas descritas.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente cobra problemas de "capacidade total fixa dividida entre dois tipos de itens" (cartão de memória, tanque com duas torneiras, orçamento com dois produtos), que sempre recaem em um sistema linear 2×2 quando há duas situações que atingem o mesmo total.
• Generalização: sempre que o texto disser que uma grandeza total é a mesma em duas situações diferentes ("encheu", "gastou tudo", "usou o valor total"), iguale as duas expressões que representam essa grandeza — isso elimina uma incógnita e permite resolver o problema por substituição direta.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa for igual à soma simples dos dois totais fornecidos no texto (aqui, 190 + 150 = 340), desconfie: quase sempre é uma armadilha que ignora uma das grandezas envolvidas no problema.
• Conexões: problemas de mistura (concentração de soluções), tarifas com parte fixa e parte variável, e sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas em contextos de proporcionalidade.