Questão 155 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (frequência relativa e probabilidade condicional)
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo é simples, mas exige perceber que o sorteio acontece só entre os aprovados, não entre todos os seguidores.
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade aplicada a proporções populacionais (Competência de área 7 — compreender o caráter aleatório de fenômenos e associar probabilidades a eventos)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a razão entre a chance de o sorteado ser fã e a chance de ele não ser fã, sabendo que só concorrem ao sorteio os seguidores aprovados no teste?"
• Palavras-chave decisivas: aprovados, razão, fã / não fã
• Armadilha típica: usar direto a proporção original de fãs e não-fãs entre os seguidores (80% e 20%), esquecendo que o filtro do teste altera completamente quem concorre ao sorteio.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de recalcular a população elegível ao sorteio — os aprovados — e comparar as duas subpopulações dentro desse novo total, não do total original de um milhão.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como operador multiplicativo: "x% de N" significa multiplicar N por x/100; é a ferramenta usada para achar o número de fãs, não-fãs e aprovados em cada grupo.
• Partição do espaço amostral em etapas: os seguidores se dividem primeiro em fãs e não fãs; cada um desses grupos se divide de novo em aprovados e reprovados no teste. É um problema de duas partições sucessivas.
• Probabilidade pela regra de Laplace: se o sorteio é uniforme entre os aprovados, a probabilidade de o sorteado pertencer a um grupo é o tamanho desse grupo dividido pelo total de aprovados.
• Cancelamento do denominador comum: como as duas probabilidades comparadas (fã sorteado e não-fã sorteado) têm o mesmo denominador — o total de aprovados —, a razão entre elas se reduz à razão entre os números absolutos de aprovados de cada grupo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "apenas 80% deles são realmente fãs do programa" → define a partição inicial dos seguidores: 800 mil fãs e 200 mil não-fãs dentro do milhão de seguidores.
• Evidência 2: "só poderão participar do sorteio aqueles que forem aprovados" → o sorteio não ocorre entre o milhão de seguidores, mas apenas entre os aprovados no teste. Esse é o dado que redefine o espaço amostral relevante para o cálculo.
• Evidência 3: "a taxa de aprovação é de 90% dos fãs e de 15% dos que não são fãs" → fornece as taxas de aprovação condicionais de cada subgrupo, permitindo calcular quantos aprovados existem em cada um.
• Síntese: a resolução segue três etapas — (1) dividir os seguidores em fãs e não-fãs, (2) aplicar a taxa de aprovação em cada grupo para obter o número de aprovados de cada tipo, (3) comparar esses dois números, pois é exatamente entre eles que o sorteio de fato ocorre.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Dividir os seguidores em fãs e não-fãs

Total de seguidores: 1 000 000.

Fãs (80%): 0,80 × 1 000 000 = 800 000 fãs.

Não-fãs (20%): 0,20 × 1 000 000 = 200 000 não-fãs.

Subpasso 4.2 — Aplicar a taxa de aprovação e montar a razão pedida

Entre os fãs, 90% são aprovados no teste:

0,90 × 800 000 = 720 000 fãs aprovados.

Entre os não-fãs, 15% são aprovados no teste:

0,15 × 200 000 = 30 000 não-fãs aprovados.

Somente esses 720 000 + 30 000 = 750 000 seguidores concorrem ao sorteio. Como o sorteio é uniforme entre eles:

P(sorteado é fã) = 720 000 ÷ 750 000

P(sorteado não é fã) = 30 000 ÷ 750 000

A razão pedida é:

Razão = P(fã) ÷ P(não fã) = (720 000/750 000) ÷ (30 000/750 000) = 720 000 ÷ 30 000 = 24

Repare que o denominador comum (750 000 aprovados) se cancela — por isso não é nem necessário calculá-lo para responder à pergunta; basta comparar diretamente os aprovados fãs com os aprovados não-fãs.

Subpasso 4.3 — Verificação

720 000 ÷ 30 000 = 24, valor que corresponde exatamente à alternativa D. Uma forma alternativa de checar: a razão também pode ser obtida multiplicando a razão populacional (800 000/200 000 = 4) pela razão das taxas de aprovação (90%/15% = 6): 4 × 6 = 24. As duas rotas convergem para o mesmo número, confirmando o resultado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1.

❌ Incorreta: sugeriria que a chance de o sorteado ser fã é igual à de não ser fã, ou seja, que fãs e não-fãs teriam a mesma representação entre os aprovados. Isso ignoraria tanto a diferença populacional (80% contra 20%) quanto a diferença de taxas de aprovação (90% contra 15%), que atuam na mesma direção e tornam os fãs largamente majoritários entre os aprovados.

B) 4.

❌ Incorreta: é exatamente a razão obtida usando apenas a proporção original da população total (800 000 fãs ÷ 200 000 não-fãs = 4), sem aplicar a taxa de aprovação. É a armadilha central da questão: quem ignora que só os aprovados concorrem ao sorteio para direto nesse valor.

C) 6.

❌ Incorreta: corresponde à razão entre as taxas de aprovação isoladas (90% ÷ 15% = 6), comparando apenas "quão mais fácil é um fã passar" sem levar em conta que também há mais fãs do que não-fãs na população original. Compara taxas, não quantidades absolutas de aprovados.

D) 24.

✅ Correta: é o resultado de comparar os 720 000 fãs aprovados com os 30 000 não-fãs aprovados (720 000 ÷ 30 000 = 24), que é a razão real entre as probabilidades pedidas, pois o sorteio ocorre exclusivamente entre os aprovados no teste.

E) 96.

❌ Incorreta: valor que surge de um erro de composição, como aplicar novamente a razão populacional sobre o resultado já correto (24 × 4 = 96), ou de outra combinação equivocada entre as taxas percentuais e as populações. Ultrapassa o que os dados do enunciado sustentam.

🏆 Gabarito: D — a razão pedida é 720 000 fãs aprovados dividido por 30 000 não-fãs aprovados, resultando em 24, porque o sorteio ocorre apenas entre os seguidores aprovados no teste, e não entre todos os seguidores.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 24 é a única razão compatível com os dados, pois nasce diretamente da divisão entre o número de fãs aprovados (720 000) e o número de não-fãs aprovados (30 000), respeitando o fato de que o espaço amostral do sorteio é o grupo dos aprovados.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora combinar porcentagens em cascata — uma proporção populacional seguida de uma taxa condicional (aprovação, sucesso, ocorrência) — para testar se o candidato identifica corretamente qual é o "universo" final relevante para a probabilidade pedida.
• Generalização: sempre que o evento de interesse depende de um filtro (aprovação, seleção, qualificação), a probabilidade deve ser calculada sobre a população já filtrada, e não sobre a população inicial; a razão entre duas probabilidades desse tipo é sempre a razão entre as frequências absolutas dos grupos dentro do universo filtrado.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa reproduz literalmente a razão bruta da população (4) ou a razão bruta das taxas (6), ela quase certamente ignora uma etapa do problema — multiplique as duas razões parciais (população × taxa) para chegar à resposta que combina toda a informação, o que aqui dá 4 × 6 = 24.
• Conexões: este tipo de questão se conecta a "probabilidade condicional" e ao "Teorema de Bayes" em versão simplificada, além de aparecer com frequência em problemas de tabelas de dupla entrada (contingência) no ENEM.