Questão 172 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística básica (média aritmética e soma de termos)
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas manipular a fórmula da média aritmética e fazer uma subtração de somas
• 🎯 Tema/Habilidade: Média aritmética como ferramenta para reconstruir uma informação individual a partir de dados agregados (competência de resolução de problemas com tratamento da informação)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra a idade do aluno mais velho, que faltou, sabendo como a média da turma mudou na sua ausência."
• Palavras-chave decisivas: média aritmética, dez alunos / nove alunos, aluno mais velho faltou
• Armadilha típica: calcular apenas a diferença entre as duas médias (32 − 30 = 2) e marcar uma alternativa próxima desse valor, esquecendo que a média despenca porque um único aluno deixou de entrar na soma — o efeito sobre o total é amplificado pelo número de alunos.
• O que a resposta precisa demonstrar: a capacidade de transformar médias em somas totais (usando o número de elementos de cada grupo) e depois isolar o valor que "saiu" do conjunto por subtração de somas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética: é a soma de todos os valores de um conjunto dividida pela quantidade de valores. Formalmente, para um conjunto com n elementos, M = (soma dos valores) ÷ n. Invertendo essa relação, a soma dos valores = M × n.
• Soma total como "caixa preta": quando não conhecemos os valores individuais, mas conhecemos a média e a quantidade de elementos, podemos sempre recuperar a soma total — e é essa soma que carrega toda a informação necessária para comparar dois grupos.
• Elemento removido = diferença de somas: se um grupo original de n elementos perde um elemento e passa a ter n − 1 elementos, o valor do elemento removido é exatamente a soma do grupo original menos a soma do grupo restante. Essa é a lógica central de "problemas de médias com um faltante".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a média aritmética das idades dos seus dez alunos é de 32 anos" → isso define a soma total de idades da turma completa: 10 alunos, soma = 10 × 32 = 320 anos.
• Evidência 2: "com isso, a média aritmética das idades dos nove alunos presentes foi de 30 anos" → isso define a soma das idades apenas dos alunos que ficaram: 9 alunos, soma = 9 × 30 = 270 anos.
• Evidência 3: "o aluno mais velho da turma faltou" → essa informação garante que o aluno ausente é justamente aquele cuja idade queremos calcular — não é preciso descobrir "quem" é, apenas "quanto" ele tem, e o enunciado só confirma que ele é o mais velho (dado que será usado para checar a coerência da resposta no Passo 4.3).
• Síntese: o problema fornece duas somas de idades (turma toda e turma sem o faltante). A diferença entre essas duas somas é exatamente a idade do aluno ausente, pois ele é o único elemento que "sai" de um grupo para o outro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a média da turma completa em soma total

A média aritmética das idades dos 10 alunos é 32 anos. Pela definição de média:

Soma₁₀ ÷ 10 = 32

Soma₁₀ = 32 × 10 = 320 anos

Ou seja, somando a idade de todos os 10 alunos da turma (incluindo o mais velho, que faltou naquele dia), o total dá 320 anos.

Subpasso 4.2 — Traduzir a média dos presentes em soma parcial e isolar a idade que falta

No dia em que o aluno mais velho faltou, restaram 9 alunos, com média 30 anos:

Soma₉ ÷ 9 = 30

Soma₉ = 30 × 9 = 270 anos

Como a soma dos 10 alunos (320) é igual à soma dos 9 presentes (270) mais a idade do aluno que faltou, temos:

Soma₁₀ = Soma₉ + idade do faltante

320 = 270 + idade do faltante

idade do faltante = 320 − 270 = 50 anos

Subpasso 4.3 — Verificação de coerência

Um valor de 50 anos deve, de fato, ser maior do que a média dos demais (para justificar por que ele é chamado de "aluno mais velho" e por que sua ausência derruba a média em 2 anos). Note que 50 está bem acima da média original de 32 e da média dos presentes de 30 — plenamente coerente com "o aluno mais velho da turma". Além disso, é possível confirmar por bom senso: se 9 alunos têm em média 30 anos e um décimo aluno de 50 anos entra no grupo, a nova soma é 270 + 50 = 320, e a nova média é 320 ÷ 10 = 32 anos — exatamente o valor informado no enunciado. A verificação fecha perfeitamente, confirmando que a idade do aluno ausente é 50 anos.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 18

❌ Incorreta: esse valor seria coerente se a saída de um aluno mais novo tivesse feito a média subir, ou se alguém confundisse a operação e calculasse 32 − (32 − 30) × 7 por engano, ou simplesmente testasse um valor pequeno "no chute". Mas um aluno de 18 anos é bem mais novo que a média de 32, então sua ausência faria a média dos 9 restantes subir, não cair para 30 — contradiz o enunciado.

B) 20

❌ Incorreta: mesma lógica do item A — um aluno de 20 anos está abaixo da média geral (32), então se ele faltasse, a média dos presentes aumentaria, e não diminuiria para 30. Esse valor pode surgir de erros de conta como multiplicar apenas a diferença das médias (2) por um fator errado, sem reconstruir as somas corretamente.

C) 31

❌ Incorreta: 31 é um valor "morno", muito próximo da média original (32), típico de quem tenta resolver "no olho" ou faz uma média simples entre 32 e 30 sem considerar os pesos (número de alunos) de cada grupo. Um aluno com 31 anos, próximo da média, não teria poder de puxar a média de 32 para 30 ao sair — o impacto seria muito menor do que o observado.

D) 50

✅ Correta: é o único valor compatível com as duas somas obtidas via média × quantidade de alunos. Soma da turma completa (10 × 32 = 320) menos soma dos 9 presentes (9 × 30 = 270) resulta exatamente em 50 anos — e esse valor, sendo muito maior que a média geral, explica coerentemente por que ele é "o aluno mais velho" e por que sua saída faz a média cair 2 anos inteiros.

E) 62

❌ Incorreta: valor superestimado, possivelmente originado de uma inversão na subtração (calcular 320 + 270 dividido por algo, ou somar em vez de subtrair partes do processo) ou de multiplicar a diferença das médias (2) por um fator maior que o correto. Se o aluno tivesse 62 anos, a soma dos 10 alunos seria 270 + 62 = 332, o que daria uma média de 33,2 anos — não os 32 anos informados no enunciado.

🏆 Gabarito: D — a idade do aluno ausente é a diferença entre a soma total das idades da turma completa (320 anos) e a soma das idades dos nove alunos presentes (270 anos), resultando em 50 anos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas 50 anos satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado — ser a idade que, ao ser retirada da soma de 320 (10 alunos, média 32), deixa exatamente 270 (9 alunos, média 30) — e é o único valor compatível com a descrição de "aluno mais velho da turma".
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esse formato de questão, em que se dá a média de um grupo, retira-se (ou acrescenta-se) um elemento, e pede-se para descobrir o valor desse elemento a partir da nova média. Aparece em contextos de idades, notas escolares, salários e pesos — sempre com a mesma estrutura matemática por trás.
• Generalização: sempre que um problema envolver "média antes e depois de remover/inserir um elemento", transforme as médias em somas totais (média × quantidade de elementos) e resolva por diferença ou soma de somas — nunca tente comparar médias diretamente, pois elas têm "pesos" (quantidades) diferentes.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro se o valor buscado deve ser maior ou menor que as médias dadas. Como a média caiu ao tirar o aluno, ele precisa ser bem mais velho que a média — isso já elimina de cara as alternativas A, B e C (18, 20 e 31), que estão abaixo ou muito próximas da média original, restando apenas D e E para verificação por conta.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a problemas de "média ponderada" (quando os grupos têm tamanhos diferentes) e a questões de "boletim escolar" em que se pergunta a nota que falta para atingir uma média mínima — ambos usam a mesma técnica de converter médias em somas.