Questão 148 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (crescimento linear × crescimento exponencial) e leitura de gráficos
• ⚡ Nível: Fácil — não exige cálculo algébrico, apenas reconhecer o comportamento gráfico de cada tipo de função descrito no texto
• 🎯 Tema/Habilidade: Identificar, em um gráfico, a representação de duas fases de crescimento (linear seguida de exponencial), competência de leitura e interpretação de gráficos e funções (H21/H25 da matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual gráfico mostra vendas que sobem em linha reta no primeiro ano e depois passam a subir cada vez mais rápido, de forma exponencial, no segundo ano?"
• Palavras-chave decisivas: cresceram de modo linear, crescerem de modo exponencial, investir em propaganda
• Armadilha típica: confundir "crescimento rápido" com exponencial em qualquer trecho do gráfico, escolhendo curvas que já começam curvas desde o início (sem o primeiro trecho reto) ou que "saturam" no final, quando na verdade o exponencial acelera sem parar
• O que a resposta precisa demonstrar: um gráfico com DUAS fases visualmente distintas — um segmento de reta (1º ano) emendado com uma curva que se torna cada vez mais inclinada (2º ano), sem mudança abrupta de sentido nem achatamento no fim

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (crescimento linear): tem a forma f(t) = at + b, com taxa de variação constante — no gráfico, é sempre uma reta, subindo com a mesma "inclinação" do início ao fim do intervalo.
• Função exponencial (crescimento exponencial): tem a forma f(t) = a·bᵗ, com b > 1, cuja taxa de variação é crescente — no gráfico, é uma curva côncava para cima, que começa subindo devagar e vai ficando cada vez mais íngreme (o oposto de "saturar" ou "achatar").
• Função por partes (piecewise): quando um fenômeno muda de comportamento em um instante específico (aqui, t = 1 ano, quando entra o investimento em propaganda), o gráfico deve ser desenhado em dois trechos com regras diferentes, unidos em um único ponto de transição, sem descontinuidade no valor das vendas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "No primeiro ano, suas vendas cresceram de modo linear" → do tempo 0 até o tempo 1 (ano), o gráfico deve ser um segmento de RETA crescente, com inclinação constante.
• Evidência 2: "ele decidiu investir em propaganda, o que fez suas vendas crescerem de modo exponencial" → a partir do tempo 1 até o tempo 2, o gráfico passa a ser uma CURVA que cresce cada vez mais rápido (concavidade para cima), refletindo o efeito multiplicador da propaganda nas vendas.
• Síntese: o gráfico correto precisa, obrigatoriamente, mostrar essa "costura" de dois comportamentos: reta até t = 1 e, depois, uma curva exponencial que acelera até t = 2 — qualquer gráfico que seja uniforme (só reta, só curva suave, ou que desacelere no final) não representa fielmente o texto.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando o primeiro ano (crescimento linear)

De t = 0 a t = 1 ano, as vendas seguem uma função afim f(t) = at + b. Como o texto não fornece valores numéricos exatos no enunciado (eles aparecem apenas na figura de cada alternativa), o essencial é o formato: um segmento de reta com inclinação positiva e constante, saindo de um valor inicial baixo (por exemplo, próximo de zero ou de poucas unidades) e chegando, ao final do 1º ano, a um valor moderado — nas alternativas compatíveis com o texto, esse valor fica em torno de 7 mil reais em t = 1.

Subpasso 4.2 — Modelando o segundo ano (crescimento exponencial)

A partir de t = 1, a propaganda muda o regime de crescimento: agora vale g(t) = A·bᵗ, com base b > 1. Uma característica central da exponencial é que sua taxa de crescimento é proporcional ao próprio valor da função — ou seja, quanto maiores as vendas, mais rápido elas passam a crescer. Isso produz uma curva côncava para cima, que parte do mesmo ponto onde a reta terminou (para não haver "salto" nas vendas) e dispara cada vez mais até t = 2, atingindo um valor bem mais alto — compatível com cerca de 45 mil reais no fim do 2º ano.

Subpasso 4.3 — Verificação

Comparando com as alternativas: o gráfico correto deve (i) ser reto de 0 a 1, (ii) ser curvo e cada vez mais inclinado de 1 a 2, (iii) não apresentar quebra abrupta no ponto de transição, e (iv) não "achatar" nem "saturar" no final (isso seria comportamento logístico ou logarítmico, não exponencial). Esse padrão bate exatamente com a alternativa D, que mostra a reta até aproximadamente 7 em t = 1 e depois a curva disparando até aproximadamente 45 em t = 2.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Curva côncava crescente em toda a extensão (0 a 2 anos)

❌ Incorreta: não existe nenhum trecho reto no início. Se a curva já é côncava (curva) desde t = 0, ela ignora a informação de que o primeiro ano teve crescimento linear (reta), representando apenas um crescimento exponencial "puro" do início ao fim.

B) Curva de crescimento rápido no início e saturação próxima de 41 ao final

❌ Incorreta: essa forma (subida rápida seguida de achatamento) é típica de crescimento logístico ou de funções que tendem a um limite (assíntota horizontal), o oposto do comportamento exponencial descrito no texto, que deve acelerar — e não desacelerar — ao longo do tempo. Além disso, também não mostra o trecho linear inicial.

C) Reta crescente ao longo de todo o período

❌ Incorreta: representa apenas crescimento linear do início ao fim, sem nenhuma mudança de regime. Ignora completamente o efeito da propaganda, que deveria alterar o crescimento para exponencial a partir do 2º ano.

D) Reta linear no primeiro ano (até ≈7 em t = 1) seguida de curva exponencial até ≈45 em t = 2

✅ Correta: reproduz exatamente as duas fases descritas no enunciado — reta com inclinação constante durante o 1º ano, unida sem descontinuidade a uma curva côncava para cima que acelera fortemente até o final do 2º ano, resultado coerente com o investimento em propaganda.

E) Curva côncava em toda a extensão com pequena variação inicial

❌ Incorreta: assim como a alternativa A, apresenta comportamento curvo (não reto) desde o início, e ainda descreve uma variação inicial pequena demais, o que não condiz com um crescimento linear "de verdade" (taxa constante, não necessariamente pequena) no primeiro ano.

🏆 Gabarito: D — é o único gráfico que respeita as duas fases descritas no texto: reta crescente constante no 1º ano e curva exponencial acelerando no 2º ano, sem quebras nem achatamentos indevidos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa D combina um trecho reto (crescimento linear, taxa constante) com um trecho curvo e cada vez mais inclinado (crescimento exponencial, taxa crescente), exatamente na ordem temporal descrita no enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora testar a leitura de gráficos "por partes", em que o candidato precisa associar palavras do texto (linear, exponencial, constante, cada vez mais rápido) a formatos geométricos (reta, curva côncava/convexa, assíntota).
• Generalização: sempre que o enunciado disser "cresce de modo linear", pense em RETA (inclinação fixa); sempre que disser "cresce de modo exponencial", pense em CURVA que acelera continuamente (nunca em curva que satura ou desacelera — isso seria logística/logarítmica).
• Dica de eliminação rápida: primeiro, elimine qualquer alternativa que não tenha uma clara "quebra" entre reta e curva (isso corta as opções só-reta e só-curva-desde-o-início); depois, elimine qualquer curva que "achata" ou se estabiliza no final (isso corta as que descrevem saturação, não crescimento exponencial verdadeiro).
• Conexões: compare com questões sobre juros compostos (crescimento exponencial de capital) e sobre funções definidas por partes (piecewise functions) em problemas de tarifas e contas de consumo, temas recorrentes no ENEM.