Questão 170 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções afins (1º grau) com duas variáveis aplicadas à comparação de custos
• ⚡ Nível: Médio — não exige teoria complexa, mas demanda seis substituições numéricas organizadas e comparação cuidadosa dos resultados, sem margem para trocar valores
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situações-problema com funções lineares de duas variáveis e escolha da opção mais econômica entre alternativas de custo
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule quanto cada turista pagaria em cada uma das três locadoras e descubra, para cada um, qual empresa oferece o menor valor."
• Palavras-chave decisivas: economizarem, N o número de diárias, K o número de quilômetros percorridos
• Armadilha típica: trocar os valores de N e K entre os dois turistas ao montar as contas (por exemplo, usar N=3 e K=250 também para Y), ou comparar apenas duas das três empresas e deixar de conferir a terceira antes de concluir qual é a mais barata.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio de substituição numérica em expressões algébricas com duas variáveis, aplicado de forma independente aos dois cenários (X e Y), seguido da identificação correta do valor mínimo em cada conjunto de três resultados.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim de duas variáveis: expressão do tipo a·N + b·K, em que o custo total do aluguel depende linearmente do número de diárias (N) e da distância percorrida (K). Cada empresa tem seus próprios coeficientes a e b, o que faz uma ser mais vantajosa em certas condições e outra em condições diferentes.
• Substituição numérica: processo de trocar as letras N e K pelos valores concretos informados no enunciado, transformando uma expressão algébrica em um número (o preço final em reais) que pode ser comparado diretamente com outros preços.
• Critério de otimização (mínimo): "economizar" significa, matematicamente, calcular o resultado de cada fórmula disponível para o mesmo cenário de uso e escolher o menor valor entre eles — não existe atalho por inspeção dos coeficientes, pois o peso de N e de K muda conforme o par (N, K) analisado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (tabela da figura): "Empresa I: 100N + 0,8K · Empresa II: 70N + 1,2K · Empresa III: 120N + 0,6K" → fornece as três fórmulas de custo que precisam ser avaliadas para cada turista.
• Evidência 2: "O turista X alugará um carro em uma mesma locadora por três dias e percorrerá 250 km" → define N = 3 e K = 250 exclusivamente para X, valores que devem ser aplicados às três expressões.
• Evidência 3: "a pessoa Y usará o carro por apenas um dia e percorrerá 120 km" → define N = 1 e K = 120 exclusivamente para Y, um segundo conjunto de substituições, independente do primeiro.
• Síntese: A questão embute dois problemas de otimização separados dentro de um único enunciado: descobrir o mínimo entre I, II e III para o par (N=3, K=250) de X, e o mínimo entre I, II e III para o par (N=1, K=120) de Y. A alternativa correta precisa acertar as duas respostas simultaneamente, na ordem "X, depois Y".

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os dados extraídos da tabela e do texto

Fórmulas de custo (em reais) por empresa:

• Empresa I: 100N + 0,8K
• Empresa II: 70N + 1,2K
• Empresa III: 120N + 0,6K

Cenários:

• Turista X: N = 3 diárias, K = 250 km
• Turista Y: N = 1 diária, K = 120 km

Subpasso 4.2 — Calcular o custo do turista X nas três empresas

• Empresa I: 100 × 3 + 0,8 × 250 = 300 + 200 = R$ 500
• Empresa II: 70 × 3 + 1,2 × 250 = 210 + 300 = R$ 510
• Empresa III: 120 × 3 + 0,6 × 250 = 360 + 150 = R$ 510

Comparando os três valores (500, 510, 510), o menor é R$ 500, obtido na Empresa I. Note que II e III empatam em R$ 510, mas ambas ficam acima de I — logo I é a única vencedora para X.

Subpasso 4.3 — Calcular o custo do turista Y nas três empresas

• Empresa I: 100 × 1 + 0,8 × 120 = 100 + 96 = R$ 196
• Empresa II: 70 × 1 + 1,2 × 120 = 70 + 144 = R$ 214
• Empresa III: 120 × 1 + 0,6 × 120 = 120 + 72 = R$ 192

Comparando os três valores (196, 214, 192), o menor é R$ 192, obtido na Empresa III. A empresa I fica próxima (R$ 196), mas ainda é R$ 4 mais cara, e a empresa II é a pior opção disparado (R$ 214).

Subpasso 4.3 — Verificação

X deve alugar na Empresa I (a mais barata para ele, 3 diárias e 250 km) e Y deve alugar na Empresa III (a mais barata para ele, 1 diária e 120 km). Combinando os resultados na ordem pedida pelo enunciado ("X e Y, respectivamente"), a resposta é "I e III", que corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I e II.

❌ Incorreta: acerta a empresa de X (I, com o menor valor R$ 500), mas erra a de Y ao indicar II — que na verdade é a mais cara das três para ele (R$ 214, contra R$ 192 de III). É o erro de quem calcula corretamente o cenário de X, mas não refaz as três contas do zero para Y, arrastando um raciocínio equivocado.

B) I e III.

✅ Correta: X paga R$ 500 na Empresa I, o menor valor entre 500 (I), 510 (II) e 510 (III); Y paga R$ 192 na Empresa III, o menor valor entre 196 (I), 214 (II) e 192 (III). Os dois mínimos calculados no Passo 4 confirmam exatamente esta combinação.

C) II e II.

❌ Incorreta: a Empresa II não é a mais barata para nenhum dos dois turistas. Para X, II custa R$ 510 (empatada com III como a pior opção); para Y, II custa R$ 214 (a pior de todas). Esse erro costuma surgir quando o candidato inverte os coeficientes das expressões (troca 100 por 70, ou 0,8 por 1,2) ao substituir os valores.

D) II e III.

❌ Incorreta: acerta a empresa de Y (III, R$ 192, de fato o mínimo), mas erra a de X ao apontar II, que custa R$ 510 — empatada com III como a opção mais cara, R$ 10 acima da verdadeira vencedora, a Empresa I (R$ 500). Sugere um deslize de cálculo na expressão II para X, ou comparação apressada que ignorou a Empresa I.

E) III e I.

❌ Incorreta: inverte a lógica correta, atribuindo a Empresa III a X (quando III só é vantajosa para Y) e a Empresa I a Y (quando I custa R$ 196, R$ 4 a mais que os R$ 192 de III). Revela confusão entre qual par (N, K) pertence a qual turista — provavelmente aplicando K=120 e N=1 no lugar de K=250 e N=3, ou vice-versa.

🏆 Gabarito: B — Substituindo N=3 e K=250 nas três fórmulas, o menor custo para X é o da Empresa I (R$ 500); substituindo N=1 e K=120, o menor custo para Y é o da Empresa III (R$ 192). Logo, X e Y alugam, respectivamente, nas empresas I e III.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa B reproduz os dois mínimos corretos — Empresa I para X (R$ 500, o menor entre 500/510/510) e Empresa III para Y (R$ 192, o menor entre 196/214/192). Qualquer outra combinação nasce de um erro de substituição, de troca dos valores de N e K entre os turistas, ou de comparação incompleta entre as três empresas.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência esse formato de "escolha do plano/serviço mais econômico" — planos de celular, tarifas de táxi por aplicativo, pacotes de internet, aluguel de carros — sempre exigindo comparar expressões lineares com duas variáveis para diferentes perfis de uso.
• Generalização: sempre que houver várias fórmulas de custo do tipo a·x + b·y, calcule o valor numérico de cada uma para o cenário dado e compare os resultados prontos; nunca tente decidir "no olho" comparando apenas os coeficientes, porque o peso relativo de cada variável muda conforme os valores específicos de x e y em cada situação.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro os três valores de UM único turista e já descarte toda alternativa que não traga a empresa vencedora dele na posição correta — isso elimina de 2 a 3 alternativas antes mesmo de você calcular o segundo turista, economizando tempo de prova.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de sistemas de inequações lineares (para descobrir a partir de que quilometragem uma empresa passa a ser mais vantajosa que outra) e em introdução à Programação Linear, temas recorrentes em questões de matemática financeira e modelagem do ENEM.