Questão 142 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Taxas de consumo combinadas e proporcionalidade
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade está em perceber que "usar conjuntamente" significa somar taxas de consumo, e não somar os prazos individuais
• 🎯 Tema/Habilidade: Grandezas proporcionais e taxas de trabalho/consumo combinadas — modelar matematicamente uma situação cotidiana (competência de área da Matemática no ENEM)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos frascos de xampu, no mínimo, as duas amigas precisam levar para uma viagem de 60 dias, sabendo que usarão cada frasco em conjunto?"
• Palavras-chave decisivas: conjuntamente, 60 dias, número mínimo
• Armadilha típica: somar os dois prazos (10 dias + 20 dias = 30 dias) ou tirar a média deles, tratando o problema como se fosse uma soma de tempos — quando, na verdade, o que se soma são as taxas de consumo, porque as duas amigas gastam xampu ao mesmo tempo, do mesmo frasco.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "uma gasta um frasco em X dias" em uma taxa (fração de frasco por dia) e somar corretamente as taxas de dois agentes que atuam simultaneamente sobre o mesmo recurso — o mesmo raciocínio de problemas clássicos de torneiras enchendo um tanque.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Taxa de consumo (produtividade): é a quantidade de um recurso consumida por unidade de tempo. Se alguém gasta 1 frasco em 10 dias, sua taxa é 1/10 de frasco por dia.
• Adição de taxas simultâneas: quando duas pessoas (ou máquinas, torneiras etc.) atuam ao mesmo tempo sobre o mesmo estoque, as taxas individuais se somam para formar a taxa conjunta — nunca se somam os tempos.
• Proporcionalidade direta: consumo total = taxa conjunta × tempo total. É a mesma lógica da regra de três simples aplicada a uma taxa constante.
• MMC como ferramenta de verificação: encontrar um período em que os dois consumos individuais resultem em números inteiros de frascos ajuda a conferir a conta sem trabalhar com frações.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "uma delas gasta um frasco desse xampu em 10 dias" → taxa individual da amiga 1: 1/10 de frasco por dia.
• Evidência 2: "a outra leva 20 dias para gastar um frasco com o mesmo volume" → taxa individual da amiga 2: 1/20 de frasco por dia.
• Evidência 3: "elas combinam de usar, conjuntamente, cada frasco de xampu que levarem" → as duas retiram xampu do mesmo frasco ao mesmo tempo; logo, enquanto esse frasco está em uso, o consumo diário é a soma das duas taxas.
• Síntese: o problema pede o total de frascos consumidos por essa "dupla" ao longo de 60 dias, e esse total é obtido multiplicando a taxa conjunta (soma das taxas individuais) pelo tempo total da viagem.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a taxa de consumo conjunta

Taxa da amiga 1: 1/10 frasco/dia.

Taxa da amiga 2: 1/20 frasco/dia.

Como consomem o mesmo frasco ao mesmo tempo, as taxas se somam:

Taxa conjunta = 1/10 + 1/20 = 2/20 + 1/20 = 3/20 frasco por dia.

Subpasso 4.2 — Calcular o consumo total em 60 dias

Consumo total = taxa conjunta × tempo total

Consumo total = (3/20) × 60 = 180/20 = 9 frascos.

Como o resultado é um número inteiro exato, não há necessidade de arredondamento: 9 frascos são suficientes e nenhum frasco a menos cobre os 60 dias.

Subpasso 4.3 — Verificação por outro caminho (MMC)

Para conferir sem frações, use o mínimo múltiplo comum dos dois prazos: MMC(10, 20) = 20 dias.

• Em 20 dias, a amiga 1 (1 frasco a cada 10 dias) gasta 20 ÷ 10 = 2 frascos.
• Em 20 dias, a amiga 2 (1 frasco a cada 20 dias) gasta 20 ÷ 20 = 1 frasco.
• Juntas, a cada bloco de 20 dias, consomem 2 + 1 = 3 frascos.

Como 60 dias equivalem a 60 ÷ 20 = 3 blocos de 20 dias, o total é:

3 blocos × 3 frascos/bloco = 9 frascos.

Os dois métodos batem exatamente: 9 frascos, confirmando a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2.

❌ Incorreta: esse valor surge se alguém trata erroneamente a "combinação" como uma soma dos tempos individuais (10 + 20 = 30 dias por frasco conjunto) e divide 60 ÷ 30 = 2. O erro conceitual é confundir soma de prazos com soma de taxas: como as amigas consomem ao mesmo tempo, quanto mais rápido uma delas gasta, menos tempo (e não mais) o frasco dura — por isso as taxas se somam, e não os dias.

B) 4.

❌ Incorreta: resulta de calcular a média aritmética dos dois prazos, (10 + 20) ÷ 2 = 15 dias por frasco, e então 60 ÷ 15 = 4. Esse raciocínio ignora que consumo simultâneo funciona como produtividade combinada (mesma lógica de torneiras enchendo um tanque): não se tira a média dos tempos, soma-se as taxas de consumo.

C) 6.

❌ Incorreta: corresponde a considerar apenas a amiga que gasta xampu mais rápido (1 frasco a cada 10 dias) e calcular 60 ÷ 10 = 6, esquecendo de somar a contribuição da segunda amiga. Como as duas usam o mesmo frasco ao mesmo tempo, ignorar uma das taxas subestima o consumo real do casal.

D) 8.

❌ Incorreta: costuma aparecer quando se calcula corretamente o tempo médio de duração de um frasco conjunto (20/3 ≈ 6,67 dias), mas se arredonda esse valor de forma indevida para 7 dias antes de dividir: 60 ÷ 7 ≈ 8,6, truncado para 8. O erro está em arredondar um resultado intermediário em vez de manter a fração exata (3/20) até o fim da conta.

E) 9.

✅ Correta: a soma das taxas diárias de consumo (1/10 + 1/20 = 3/20 de frasco por dia) aplicada aos 60 dias de viagem fornece exatamente 9 frascos, resultado confirmado também pelo método do MMC, com 3 frascos consumidos a cada bloco de 20 dias ao longo de 3 blocos.

🏆 Gabarito: E — a taxa conjunta de consumo (3/20 de frasco por dia) multiplicada pelos 60 dias de viagem resulta em exatamente 9 frascos, o número mínimo necessário para que o xampu não acabe antes do fim do curso.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única alternativa compatível com a soma correta das taxas individuais de consumo (1/10 + 1/20) aplicada ao período total de 60 dias; qualquer outro caminho envolve somar ou tratar os prazos de forma incorreta.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar esse formato — "trabalho conjunto" ou "consumo conjunto" — em contextos do dia a dia (torneiras enchendo piscina, operários terminando uma obra, impressoras imprimindo juntas), sempre testando se o estudante soma taxas em vez de tempos.
• Generalização: sempre que dois ou mais agentes atuam simultaneamente sobre o mesmo recurso ou tarefa, a taxa conjunta é a soma das taxas individuais (1/t₁ + 1/t₂ + ...); o tempo conjunto é o inverso dessa soma, nunca a soma ou a média dos tempos individuais.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que "parecem" vir de somar (10+20=30 → 2) ou de tirar a média (15 → 4) dos prazos dados no enunciado; em problemas de taxas simultâneas, a resposta quase sempre nasce de uma fração como 1/t₁ + 1/t₂, e não de operações diretas com os próprios números de dias.
• Conexões: problemas de torneiras enchendo ou esvaziando tanques e problemas de produtividade conjunta de operários ou máquinas seguem exatamente a mesma estrutura matemática — vale a pena revisar esses modelos juntos.