Questão 143 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão de proporcionalidade e escalas aplicadas a áreas de figuras planas
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo em si é simples, mas exige perceber que a razão de escala linear (1:25) precisa ser elevada ao quadrado para converter áreas
• 🎯 Tema/Habilidade: Escalas em plantas baixas e mapas; competência de resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e razão de semelhança entre figuras
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "O terreno real (quadrado) tem 9 m² de área. Sabendo que a planta está na escala 1:25, qual é a área desse mesmo terreno desenhada na planta, em centímetros quadrados?"
• Palavras-chave decisivas: escala 1 : 25, área de 9 metros quadrados, centímetro quadrado
• Armadilha típica: aplicar o número 25 diretamente sobre a área (multiplicando ou dividindo), sem perceber que a escala dada é uma razão de comprimentos — para áreas, o fator correto é 25² = 625
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da relação entre escala linear e escala de área, além de conversão correta de unidades (m² → cm²)

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala de um desenho: razão constante entre uma medida no desenho e a medida real correspondente, expressas na mesma unidade. Escala 1:25 significa que 1 cm na planta representa 25 cm na realidade.
• Escala linear × escala de área: se a razão entre comprimentos correspondentes de duas figuras semelhantes é k, a razão entre suas áreas é k². Isso decorre de a área de um quadrado (ou de qualquer figura) variar com o quadrado da medida linear.
• Conversão de unidades: 1 m = 100 cm, logo 1 m² = 100² cm² = 10 000 cm². É indispensável levar toda a conta para a mesma unidade (cm) antes de comparar com as alternativas, que já pedem a resposta em cm².

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "ocupará um terreno quadrado com área de 9 metros quadrados" → fornece a área real, não o lado diretamente; é preciso extrair a raiz quadrada (√9 = 3 m) para chegar ao comprimento do lado.
• Evidência 2: "a escala do desenho na planta baixa do projeto é de 1 : 25" → escala linear clássica: toda medida de comprimento no real equivale a 25 vezes a medida correspondente na planta.
• Evidência 3: "a área da figura que representa esse terreno, em centímetro quadrado" → a resposta deve estar em cm², obrigando a conversão de metros para centímetros em algum momento do cálculo.
• Síntese: o caminho seguro é (1) achar o lado real em centímetros, (2) aplicar a escala linear 1:25 para obter o lado na planta, e só então (3) elevar esse lado ao quadrado para chegar à área na planta — nunca aplicar a escala diretamente sobre a área sem elevá-la ao quadrado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Lado real do terreno

O terreno é quadrado e tem área real de 9 m². Como área do quadrado = lado², então:

lado = √9 = 3 m

Convertendo para centímetros: 3 m × 100 = 300 cm

Subpasso 4.2 — Lado na planta baixa

A escala 1:25 informa que cada centímetro na planta corresponde a 25 cm na realidade. Logo, para achar o lado desenhado, divide-se o lado real pelo fator de escala:

lado(planta) = 300 ÷ 25 = 12 cm

Subpasso 4.3 — Área na planta e verificação

Como a figura na planta também é um quadrado de lado 12 cm:

área(planta) = 12² = 144 cm²

Verificação por rota alternativa (razão de áreas): o fator de escala para áreas é 25² = 625. Convertendo a área real para cm²: 9 m² × 10 000 = 90 000 cm². Então:

área(planta) = 90 000 ÷ 625 = 144 cm²

Os dois caminhos — via lado e via razão de áreas — convergem para o mesmo valor, confirmando 144 cm².

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 144.

✅ Correta: resultado exato da conversão correta — lado real 300 cm ÷ 25 = 12 cm; área = 12² = 144 cm² (confirmado também por 90 000 cm² ÷ 625 = 144 cm²).

B) 225.

❌ Incorreta: surge de multiplicar diretamente a área dada pelo número da escala, sem qualquer conversão de unidade e sem elevar ao quadrado: 9 × 25 = 225. Esse atalho ignora que a escala é uma razão entre comprimentos, não podendo ser aplicada crua sobre uma área.

C) 3 600.

❌ Incorreta: decorre de confundir a escala 1:25 com uma razão de áreas e, por isso, extrair sua raiz quadrada para achar (erroneamente) a razão linear: √25 = 5. Com esse fator errado, lado(planta) = 300 ÷ 5 = 60 cm e área = 60² = 3 600 cm². O erro conceitual é inverter a lógica: a escala 1:25 já É a razão linear, não se deve tirar raiz dela.

D) 7 500.

❌ Incorreta: resulta de inverter o sentido da escala (tratar a planta como 25 vezes maior que o real, em vez de menor) e, além disso, deixar de elevar ao quadrado a conversão: 300 cm × 25 = 7 500. O valor obtido nem chega a representar uma área coerente, pois mistura uma multiplicação linear com o resultado que deveria ser uma grandeza quadrática.

E) 32 400.

❌ Incorreta: acumula dois erros conceituais em sequência. Primeiro, trata o número 9 (da área em m²) como se já fosse uma medida de comprimento, "convertendo" 9 m diretamente para 900 cm sem antes extrair a raiz quadrada da área. Depois, repete o erro de C, usando √25 = 5 em vez de 25: 900 ÷ 5 = 180 cm, e então 180² = 32 400 cm².

🏆 Gabarito: A — a única alternativa compatível com a conversão correta entre escala linear e escala de área (fator 25² = 625) e com a conversão consistente de unidades de metro para centímetro é 144 cm².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é a única alternativa que resulta de aplicar corretamente a escala linear ao lado do quadrado (e não à área diretamente) e converter todas as medidas para a mesma unidade antes de operar.
• Padrão de cobrança: questões de escala aparecem quase todo ano no ENEM associadas a mapas, maquetes e plantas baixas, sempre testando se o candidato sabe que a "escala de área" é o quadrado da escala linear.
• Generalização: sempre que a escala for dada como razão entre comprimentos (1:k) e a pergunta envolver ÁREA, o fator a aplicar sobre a área é k², nunca k puro; para VOLUME, o fator correspondente seria k³.
• Dica de eliminação rápida: o número 25 aparece "cru" (sem elevar ao quadrado) nas alternativas B e D — descarte-as de cara, pois um problema de área com escala linear jamais usa o fator sem quadrado. Em seguida, desconfie de valores originados de tirar raiz da escala (C e E): 1:25 já é uma razão linear, não se tira raiz dela.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de mapas ("qual a área real de uma região, dada a escala do mapa e a área desenhada?") e em questões de semelhança de polígonos, onde a razão entre áreas de figuras semelhantes é sempre o quadrado da razão de semelhança entre os lados.