Questão 174 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem aplicada a problemas de lucro e preço de custo
• ⚡ Nível: Médio — exige montar uma única equação combinando três taxas de lucro diferentes sobre três custos distintos, sem confundir "quantidade de peças" com "taxa aplicada"
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas envolvendo porcentagem e equação do 1º grau (competência de área de Matemática e suas Tecnologias)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo o lucro percentual de cada tipo de peça e o lucro total de R$ 78,00 gerado por uma compra específica, descubra o preço de custo de uma calça."
• Palavras-chave decisivas: lucro de 25%/30%/20% sobre o preço de custo, duas camisetas / uma bermuda / duas calças, lucro total de R$ 78,00
• Armadilha típica: esquecer que foram compradas duas camisetas e duas calças — e não uma de cada —, o que faz o aluno usar metade do lucro correto para essas peças e chegar a um valor de custo incorreto.
• O que a resposta precisa demonstrar: a capacidade de traduzir um enunciado em uma equação de 1º grau, somando corretamente os lucros individuais (cada um calculado sobre o custo de cada peça) até isolar o preço de custo da calça.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como fração do valor de referência: "lucro de 25% sobre o preço de custo" significa lucro = 0,25 × (preço de custo), e não 25% do preço de venda. É essencial fixar sempre qual é a base do percentual.
• Multiplicação por quantidade de itens idênticos: quando o cliente compra mais de uma peça do mesmo tipo e com o mesmo custo unitário, o lucro total daquele tipo de peça é a soma dos lucros individuais, ou seja, (lucro unitário) × (quantidade).
• Equação linear com uma incógnita: o problema tem apenas uma variável desconhecida (o custo da calça, aqui chamado de x); todos os demais valores são numéricos e devem ser somados para isolar x.
• Princípio da aditividade dos lucros independentes: os lucros de camisetas, bermuda e calças são gerados em vendas separadas e simplesmente se somam — não há "juros compostos" nem qualquer efeito multiplicativo entre eles.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "duas camisetas, cujo preço de custo foi R$ 40,00 cada uma" → há duas unidades de custo R$ 40,00, cada uma gerando 25% de lucro: lucro individual = 0,25 × 40 = R$ 10,00, e como são duas, o lucro total desse grupo é 2 × 10 = R$ 20,00.
• Evidência 2: "uma bermuda que teve preço de custo de R$ 60,00" → apenas uma peça, lucro de 30%: lucro = 0,30 × 60 = R$ 18,00.
• Evidência 3: "duas calças, ambas com mesmo preço de custo" → duas unidades de custo desconhecido, chamado x, com lucro de 20% cada: lucro individual = 0,20x, e como são duas, lucro total = 2 × 0,20x = 0,40x.
• Síntese: somando os três grupos de lucro (camisetas + bermuda + calças) e igualando ao lucro total informado de R$ 78,00, obtém-se uma equação do 1º grau em x, cuja solução é o preço de custo pedido.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o lucro das camisetas e da bermuda

Camisetas (duas unidades, custo R$ 40,00 cada, lucro de 25%):

Lucro unitário = 25% × 40 = 0,25 × 40 = R$ 10,00

Lucro total das camisetas = 2 × 10 = R$ 20,00

Bermuda (uma unidade, custo R$ 60,00, lucro de 30%):

Lucro = 30% × 60 = 0,30 × 60 = R$ 18,00

Subpasso 4.2 — Montar e resolver a equação para as calças

Seja x o preço de custo de uma calça. Como são duas calças, com lucro de 20% cada:

Lucro total das calças = 2 × (0,20 × x) = 0,40x

A soma de todos os lucros deve ser igual a R$ 78,00:

20 + 18 + 0,40x = 78

38 + 0,40x = 78

0,40x = 78 − 38

0,40x = 40

x = 40 ÷ 0,40

x = 100

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo x = 100 na equação original:

• Camisetas: 2 × (0,25 × 40) = 2 × 10 = 20
• Bermuda: 0,30 × 60 = 18
• Calças: 2 × (0,20 × 100) = 2 × 20 = 40
• Soma total: 20 + 18 + 40 = 78 ✓ (bate exatamente com o lucro informado)

O valor x = R$ 100,00 corresponde à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 90

❌ Incorreta: esse valor aparece se o estudante trocar as taxas de lucro entre camiseta e bermuda, aplicando 30% (taxa da bermuda) às duas camisetas em vez de 25%. Isso dá 2 × (0,30 × 40) = R$ 24,00 para as camisetas (em vez de R$ 20,00), e mantendo a bermuda correta em R$ 18,00, a soma conhecida vira 42. A equação fica 0,40x = 78 − 42 = 36, resultando em x = 90. O erro conceitual é não amarrar cada percentual à peça correta do enunciado.

B) 100

✅ Correta: é o valor obtido ao somar corretamente os lucros de camisetas (R$ 20,00) e bermuda (R$ 18,00), isolar o termo 0,40x = 40 e dividir por 0,40, chegando a x = R$ 100,00 — confirmado pela verificação do Subpasso 4.3.

C) 125

❌ Incorreta: esse valor surge quando o estudante esquece de multiplicar por dois o lucro das camisetas, tratando-as como se apenas uma tivesse sido comprada. Nesse caso, o lucro das camisetas fica R$ 10,00 (em vez de R$ 20,00), a soma conhecida vira 10 + 18 = 28, e a equação 0,40x = 78 − 28 = 50 leva a x = 125. O erro é não respeitar a quantidade "duas camisetas" indicada no enunciado.

D) 195

❌ Incorreta: esse valor aparece quando o aluno ignora completamente os lucros das camisetas e da bermuda, atribuindo os R$ 78,00 inteiros apenas às calças. A equação incorreta fica 0,40x = 78, resultando em x = 195. O erro conceitual é desconsiderar que o lucro total é a soma de três contribuições, não apenas uma.

E) 200

❌ Incorreta: esse valor surge do erro simétrico ao da alternativa C — esquecer de multiplicar por dois o lucro das calças, tratando-as como se apenas uma tivesse sido comprada. A equação errada fica 20 + 18 + 0,20x = 78, ou seja, 0,20x = 40, o que dá x = 200. O erro é não aplicar a quantidade "duas calças" ao lucro percentual, usando metade do coeficiente correto (0,20 em vez de 0,40).

🏆 Gabarito: B — o preço de custo de uma calça é R$ 100,00, valor que satisfaz exatamente a equação 20 + 18 + 0,40x = 78, respeitando as quantidades de cada peça comprada e a taxa de lucro específica de cada uma.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente x = 100 satisfaz simultaneamente as três condições do enunciado (25% sobre duas camisetas de R$ 40,00, 30% sobre uma bermuda de R$ 60,00 e 20% sobre duas calças de custo x), resultando exatamente nos R$ 78,00 de lucro informados — todas as demais alternativas nascem de omitir uma multiplicação por dois ou de trocar uma taxa percentual entre peças.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra porcentagem em contextos de comércio (lucro, desconto, markup, reajuste de preços), sempre exigindo que o candidato identifique com precisão qual grandeza é a base do percentual (custo, venda ou valor final) e quantas unidades geram aquele valor.
• Generalização: em problemas de lucro/preço de custo com múltiplos itens, a estratégia vencedora é sempre: (1) calcular o lucro de cada peça já conhecida separadamente; (2) multiplicar pelo número de unidades daquela peça; (3) somar tudo e igualar ao lucro total; (4) isolar a incógnita por último.
• Dica de eliminação rápida: ao ver alternativas "em par" que diferem por fator 2 aproximado de outras (aqui, 100↔200 e, de forma menos direta, 125 como "meio caminho"), desconfie de que a diferença entre elas está exatamente em esquecer de dobrar a quantidade de alguma peça — refaça mentalmente a contagem de "quantas peças de cada tipo" antes de escolher.
• Conexões: este exercício se conecta diretamente com problemas de markup e margem de lucro em Matemática Financeira e com sistemas/equações do 1º grau aplicados a contextos cotidianos, temas frequentes tanto no ENEM quanto em provas de vestibulares regionais.