Questão 161 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Teoria de Conjuntos e Funções (classificação: injetora, sobrejetora, bijetora)
• ⚡ Nível: Médio — não exige cálculo, mas cobra domínio conceitual preciso das definições de função aplicadas a um contexto não numérico
• 🎯 Tema/Habilidade: Classificação de funções (injetora, sobrejetora, bijetora) a partir de uma relação entre conjuntos finitos
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que 12 meninas (conjunto A) formam par com 12 dos 13 meninos (conjunto B), classifique o tipo da função f: A → B definida por essa relação de pares."
• Palavras-chave decisivas: 12 pares distintos, 13 meninos, função de A em B
• Armadilha típica: interpretar "sobrar um menino sem par" como sinal de sobrejetividade — é exatamente o oposto — ou confundir qual conjunto é o domínio e qual é o contradomínio.
• O que a resposta precisa demonstrar: que domínio e contradomínio têm cardinalidades diferentes (12 e 13) e que essa diferença já determina, sozinha, que tipo de função é possível existir aqui.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função de A em B: relação em que todo elemento de A (domínio) está associado a exatamente um elemento de B (contradomínio) — nunca a zero, nunca a dois.
• Função injetora: elementos distintos do domínio têm imagens distintas no contradomínio; em símbolos, x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂). Nenhum elemento de B recebe duas "flechas".
• Função sobrejetora: todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio; não pode sobrar elemento de B sem correspondente em A.
• Função bijetora: injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Em conjuntos finitos, isso só é possível quando |A| = |B|.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "12 meninas... e 13 meninos" → |A| = 12 e |B| = 13. Cardinalidades diferentes já eliminam, de saída, qualquer chance de bijeção — uma bijeção entre conjuntos finitos exige que domínio e contradomínio tenham o mesmo número de elementos.
• Evidência 2: "12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino" → cada uma das 12 meninas entra em exatamente um par (o que garante que a relação é de fato uma função bem definida) e os pares são distintos entre si, ou seja, nenhum menino se repete em duas duplas simultâneas.
• Síntese: com 12 pares distintos usando 12 meninas e 12 meninos diferentes dentre os 13 disponíveis, cada menina está ligada a um menino exclusivo — a assinatura clássica de uma função injetora — e um menino fica necessariamente de fora, o que descarta a sobrejetividade.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Confirmando que a relação é função

Cada uma das 12 meninas (elementos de A) participa de exatamente um par. Logo, todo elemento de A possui uma única imagem em B, e a relação satisfaz a definição de função f: A → B.

Subpasso 4.2 — Testando a injetividade

Numa quadrilha, cada par é uma dupla exclusiva: se os 12 pares são distintos e cada menina aparece em só um deles, então nenhum menino dança com duas meninas ao mesmo tempo. Isso significa que meninas diferentes (x₁ ≠ x₂ em A) estão associadas a meninos diferentes (f(x₁) ≠ f(x₂) em B) — exatamente a definição de função injetora. Como os 12 pares usam 12 meninos distintos dentre os 13 de B, a injetividade se confirma.

Subpasso 4.3 — Testando a sobrejetividade e fechando a classificação

O conjunto B tem 13 meninos, mas apenas 12 aparecem em algum par (um por menina); sobra pelo menos um elemento de B sem correspondente em A, o que contraria a definição de sobrejetora (∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f(x) = y). Logo f não é sobrejetora — e, por consequência direta, também não é bijetora, já que bijeção exige injeção e sobrejeção ao mesmo tempo. A contagem confirma: com |A| = 12 e |B| = 13, sobrejeção exigiria |B| ≤ |A| e bijeção exigiria |A| = |B|; como 13 > 12, ambas já estão descartadas de saída, restando a injetividade como única classificação possível.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.

✅ Correta: descreve com exatidão a definição de injetividade aplicada ao caso — cada uma das 12 meninas se associa a um menino distinto dos demais, sem repetição de imagem, o que é consistente com "12 pares distintos".

B) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um menino sem formar par.

❌ Incorreta: a própria alternativa descreve a evidência que derruba a sobrejetividade — "sobrar um menino sem par" significa que existe elemento de B sem correspondente em A, o oposto exato da definição de função sobrejetora. Há uma contradição interna entre a justificativa apresentada e a conclusão tirada dela.

C) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para envolver a totalidade de alunos da turma.

❌ Incorreta: descreve o comportamento oposto ao de uma função injetora — duas meninas associadas ao mesmo menino é justamente a definição de função não injetora (dois elementos do domínio compartilhando a mesma imagem). Além disso, contraria o enunciado, que fala em 12 pares distintos, não em pares repetidos.

D) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.

❌ Incorreta: se dois meninos estivessem ligados à mesma menina, essa menina (elemento de A) teria duas imagens diferentes em B, o que sequer configuraria uma função — fere a exigência de imagem única para cada elemento do domínio. Além disso, bijeção é impossível neste cenário, pois |A| ≠ |B| (12 ≠ 13).

E) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.

❌ Incorreta: pelo mesmo motivo da alternativa D, uma menina associada a dois meninos destruiria a própria definição de função, já que cada elemento do domínio deve ter exatamente uma imagem. A alternativa propõe uma situação hipotética que nem chega a corresponder a uma função válida de A em B.

🏆 Gabarito: A — f é injetora porque, dos 12 pares distintos, cada uma das 12 meninas está ligada a um menino diferente dentre os 13 disponíveis; como sobra um menino sem par, a função não é sobrejetora nem bijetora.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única que aplica corretamente a definição de injetividade (elementos distintos do domínio geram imagens distintas) e é a única coerente com o restante dos dados — 13 meninos, 12 pares, um menino de fora.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma embutir conceitos de conjuntos e funções em situações do cotidiano (pares de dança, alocação de vagas, distribuição de times) para verificar se o aluno entende a definição, não apenas decora fórmulas.
• Generalização: para classificar uma função entre conjuntos finitos, compare as cardinalidades: |A| > |B| tende a impedir a injetividade; |A| < |B| permite injetora sem sobrejetora; |A| = |B| é condição necessária (mas não suficiente) para bijeção.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa disser "sobra elemento" e, na mesma frase, chamar a função de "sobrejetora", ela se autocontradiz — elimine na hora. Se descrever um elemento do domínio ligado a mais de um elemento do contradomínio, ela nem descreve uma função — elimine também.
• Conexões: contagem de elementos em conjuntos finitos (princípio da casa dos pombos) e função inversa, que só existe quando a função original é bijetora.