Questão 139 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão, proporção e inequações do 1º grau aplicadas a um contexto de custo-benefício.
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente a comparação de custo total (e não apenas comparar x com y) e manipular uma inequação com duas variáveis.
• 🎯 Tema/Habilidade: Análise de vantagem econômica entre combustíveis usando razão de preços — competência de resolver situações-problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais e inequações.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontrar a desigualdade entre x (preço do litro de gasolina) e y (preço do litro de etanol) que garante que abastecer com gasolina seja mais barato do que abastecer com etanol para rodar a mesma distância."
• Palavras-chave decisivas: 45 litros de gasolina / 60 litros de etanol, mesma distância, economicamente mais vantajosa
• Armadilha típica: comparar x e y diretamente (como se 1 litro de gasolina devesse simplesmente custar menos que 1 litro de etanol), ignorando que os volumes necessários para rodar a mesma distância são diferentes (45 ≠ 60). Isso leva a marcar alternativas com a razão invertida, como a B ou a D.
• O que a resposta precisa demonstrar: uma desigualdade estrita (não uma igualdade) que relacione x/y a partir da comparação dos custos totais de cada abastecimento, e não dos preços unitários isolados.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão entre grandezas: x/y é o quociente entre o preço da gasolina e o preço do etanol; permite comparar os dois combustíveis numa única expressão numérica.
• Custo total x consumo: o custo para rodar uma dada distância não é o preço unitário isolado, mas o produto entre a quantidade consumida (litros) e o preço por litro. Aqui, os "tamanhos de abastecimento" (45 L e 60 L) representam o consumo necessário para rodar a mesma distância d.
• Inequações do 1º grau com duas variáveis positivas: ao dividir ou multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, o sentido da desigualdade é preservado — regra essencial para isolar x/y sem inverter o sinal.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "abastecido com 45 litros de gasolina ou com 60 litros de etanol, o carro percorre a mesma distância" → define que, para rodar uma distância d, o carro gasta exatamente 45 litros se usar gasolina, ou 60 litros se usar etanol. Ou seja, o etanol rende menos por litro (é preciso 60 L em vez de 45 L para o mesmo percurso).
• Evidência 2: "Chamando de x o valor do litro de gasolina e de y o valor do litro de etanol" → x e y são preços UNITÁRIOS (por litro), não custos totais do tanque.
• Evidência 3: "gasolina é economicamente mais vantajosa do que abastecer com etanol" → a vantagem deve ser medida pelo CUSTO TOTAL para rodar a mesma distância, comparando 45x (gastar com gasolina) contra 60y (gastar com etanol).
• Síntese: como os volumes necessários diferem, a única forma correta de comparar vantagem econômica é montar a desigualdade entre os custos totais 45x e 60y, e só depois isolar a razão x/y — nunca comparar x e y crus.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Custo total para percorrer a mesma distância d

Se o motorista optar por gasolina, ele gasta 45 litros ao preço x por litro, então o custo do abastecimento é:

Custo(gasolina) = 45 · x

Se optar por etanol, ele gasta 60 litros ao preço y por litro, então:

Custo(etanol) = 60 · y

Como os dois valores se referem exatamente à mesma distância percorrida, eles são diretamente comparáveis.

Subpasso 4.2 — Montando a condição de vantagem da gasolina

"Gasolina mais vantajosa" significa pagar MENOS para rodar a mesma distância, ou seja:

Custo(gasolina) < Custo(etanol)

45x < 60y

Subpasso 4.3 — Isolando a razão x/y

Como y representa um preço, y > 0, então podemos dividir os dois lados da desigualdade por 60y sem inverter o sinal:

45x / 60y < 1

Simplificando a fração 45/60 = 3/4:

(3/4) · (x/y) < 1

Multiplicando ambos os lados por 4/3 (número positivo, o sentido da desigualdade não muda):

x/y < 4/3

Subpasso 4.4 — Verificação numérica

Teste com valores plausíveis: gasolina a R$ 4,00/L e etanol a R$ 3,10/L.

x/y = 4,00/3,10 ≈ 1,29, que é menor que 4/3 ≈ 1,33.

Conferindo pelo custo total: 45 × 4,00 = R$ 180,00 (gasolina) contra 60 × 3,10 = R$ 186,00 (etanol). De fato, a gasolina sai mais barata, confirmando que x/y < 4/3 corresponde à vantagem da gasolina.

No limite x/y = 4/3 os dois custos ficam iguais (45x = 60y) — por isso a resposta exige desigualdade estrita, e não igualdade.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) x/y = 4/3

❌ Incorreta: essa igualdade representa exatamente o ponto de EMPATE entre os dois combustíveis (45x = 60y, custos idênticos). Uma igualdade nunca pode expressar "vantagem" de uma opção sobre a outra — vantagem exige desigualdade estrita.

B) x/y = 3/4

❌ Incorreta: 3/4 é apenas a razão simplificada entre os volumes (45/60), usada como coeficiente intermediário no cálculo, mas escrita como igualdade ela não representa nenhuma condição de vantagem econômica — é um valor sem significado direto de comparação de custo.

C) x/y > 4/3

❌ Incorreta: essa é exatamente a condição OPOSTA à correta. Se x/y for maior que 4/3, então 45x > 60y, isto é, o custo total com gasolina seria MAIOR que com etanol — nesse caso o etanol é que seria mais vantajoso, não a gasolina.

D) x/y > 3/4

❌ Incorreta: mistura o número certo (3/4, que é a razão de volumes) com o sentido errado de desigualdade e sem completar a manipulação algébrica necessária (multiplicar por 4/3). Essa expressão não decorre corretamente de 45x < 60y.

E) x/y < 4/3

✅ Correta: é exatamente a desigualdade obtida ao transformar 45x < 60y isolando a razão x/y, representando fielmente a condição em que o custo de rodar com gasolina é menor que o custo de rodar com etanol para a mesma distância.

🏆 Gabarito: E — a condição x/y < 4/3 é a única que traduz corretamente, via manipulação algébrica de 45x < 60y, a situação em que abastecer com gasolina custa menos do que abastecer com etanol para percorrer a mesma distância.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa E é a única desigualdade estrita, no sentido correto, que resulta da comparação dos custos totais 45x < 60y — todas as demais ou usam igualdade, ou invertem o sentido da comparação, ou combinam número certo com desigualdade errada.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente esse tipo de problema envolvendo a famosa "regra dos 70%" de comparação entre etanol e gasolina (aqui, com os números do enunciado, a razão de equilíbrio é 4/3, equivalente a uma "regra dos 75%"). O modelo de raciocínio — comparar consumo × preço, e não só o preço — se repete em questões de custo-benefício de eletrodomésticos, planos de internet, embalagens de produtos, entre outros.
• Generalização: sempre que duas opções exigem quantidades diferentes do mesmo recurso para produzir o mesmo efeito (aqui, percorrer a mesma distância), a comparação de vantagem deve ser feita pelo CUSTO TOTAL (quantidade × preço unitário), nunca pelo preço unitário isolado.
• Dica de eliminação rápida: perguntas que pedem "vantagem" ou "mais barato" nunca são respondidas por uma igualdade — isso elimina de cara as alternativas A e B. Em seguida, basta lembrar que aumentar x/y encarece a gasolina relativamente ao etanol, então o sinal de "menor que" (e não "maior que") deve apontar para a gasolina ser mais vantajosa, eliminando a C.
• Conexões: este problema se conecta diretamente com razão e proporção, com sistemas de inequações do 1º grau e com a clássica "regra dos 70%" usada no dia a dia para decidir entre etanol e gasolina no posto de combustível.