Questão 175 — ENEM 2017 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Equações do 1º grau aplicadas a problemas de medidas e unidades
• ⚡ Nível: Médio — exige conversão cuidadosa de unidades (m, cm, mm) e reconhecer o padrão "n elementos e n−1 intervalos", clássico e traiçoeiro
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de um problema real por meio de equação do 1º grau (Área 5 do ENEM — Grandezas e Medidas)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine o número mínimo de tábuas de 10 cm de largura, espaçadas 15 mm entre si, necessárias para preencher uma passarela de 14,935 m de comprimento."
• Palavras-chave decisivas: espaçamento entre tábuas consecutivas, 14,935 m, no mínimo
• Armadilha típica: tratar o número de espaços como igual ao número de tábuas. Se há n tábuas enfileiradas, existem apenas n − 1 espaços entre elas — um erro de contagem clássico (o "problema dos postes").
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar uma equação que some corretamente n larguras de tábua com (n − 1) espaçamentos, tudo na mesma unidade de medida, e resolver para n inteiro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Conversão de unidades: 1 m = 100 cm = 1.000 mm. Toda a questão precisa ser resolvida numa única unidade — aqui, o milímetro é o mais conveniente, pois tanto a largura (10 cm) quanto o espaçamento (15 mm) e o comprimento total (14,935 m) se convertem em números inteiros de mm.
• Padrão "n elementos, n − 1 intervalos": quando objetos idênticos são enfileirados lado a lado com espaços regulares entre eles (sem espaço nas extremidades), o número de intervalos é sempre uma unidade a menos que o número de objetos.
• Equação do 1º grau como modelo: o comprimento total ocupado é a soma de todas as larguras das tábuas mais a soma de todos os espaçamentos: L = n·(largura) + (n − 1)·(espaçamento).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "passarela de 14,935 m" → é o comprimento total que precisa ser exatamente preenchido pela sequência de tábuas e espaços; convertendo, 14,935 m = 14.935 mm.
• Evidência 2: "tábuas de 10 cm de largura" → cada tábua ocupa 100 mm no sentido do comprimento da passarela (a Figura II mostra as tábuas dispostas lado a lado, cada uma com essa largura marcada).
• Evidência 3: "espaçamento de 15 mm entre tábuas consecutivas" → confirma que o espaço só existe entre tábuas — não há folga nas pontas da passarela —, o que ativa o padrão n − 1 intervalos.
• Síntese: a Figura II ilustra exatamente essa alternância "tábua–espaço–tábua–espaço–...–tábua", terminando sempre em tábua. Isso define de forma inequívoca a equação 100n + 15(n − 1) = 14.935, com n = número de tábuas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Padronizar todas as medidas em milímetros

Comprimento da passarela: 14,935 m × 1.000 = 14.935 mm.

Largura de cada tábua: 10 cm × 10 = 100 mm.

Espaçamento entre tábuas consecutivas: 15 mm (já na unidade).

Subpasso 4.2 — Montar e resolver a equação

Se há n tábuas, existem (n − 1) espaços entre elas. O comprimento total é a soma de tudo isso:

100·n + 15·(n − 1) = 14.935

Distribuindo o 15:

100n + 15n − 15 = 14.935

115n − 15 = 14.935

115n = 14.935 + 15 = 14.950

n = 14.950 ÷ 115

n = 130

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo n = 130 na equação original: 130 tábuas ocupam 130 × 100 mm = 13.000 mm, e entre elas há 129 espaços de 15 mm, totalizando 129 × 15 mm = 1.935 mm. Somando: 13.000 + 1.935 = 14.935 mm = 14,935 m ✓ — exatamente o comprimento pedido, sem sobra e sem falta. Como o valor de n saiu exato (não precisou de arredondamento para cima), 130 tábuas é o número mínimo — e também o único número — capaz de completar a passarela. Isso corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 60

❌ Incorreta: surge de confundir 15 mm com 15 cm (= 150 mm) e ainda assim somar corretamente à largura da tábua, gerando um módulo de 250 mm por conjunto tábua+espaço. Calculando 14.935 ÷ 250 ≈ 59,74, arredondado para 60. O erro está na conversão de unidade do espaçamento, que fica dez vezes maior que o valor real.

B) 100

❌ Incorreta: também nasce da confusão entre 15 mm e 15 cm (150 mm), mas aqui o candidato ignora por completo a largura da tábua e usa apenas o espaçamento mal convertido como se fosse o módulo de repetição: 14.935 ÷ 150 ≈ 99,57, arredondado para 100. O erro conceitual é duplo: unidade errada e elemento (largura da tábua) esquecido na modelagem.

C) 130

✅ Correta: é o resultado exato da equação 100n + 15(n − 1) = 14.935, resolvida com todas as grandezas devidamente convertidas para milímetros e respeitando o padrão de que n tábuas geram apenas (n − 1) espaços. A verificação por substituição confirma 14.935 mm exatos.

D) 150

❌ Incorreta: resulta de ignorar completamente o espaçamento entre tábuas, como se elas fossem encostadas umas nas outras sem folga. Calculando apenas 14.935 ÷ 100 = 149,35, arredondado para 150. O erro conceitual é desconsiderar um dado explícito do enunciado (o espaçamento de 15 mm), que é justamente o que torna a questão não trivial.

E) 598

❌ Incorreta: decorre de não converter a largura da tábua de centímetros para milímetros (usar 10 mm em vez de 100 mm), somando-a ao espaçamento correto de 15 mm. Isso gera um módulo de apenas 25 mm por conjunto: 14.935 ÷ 25 = 597,4, arredondado para 598. O erro está numa conversão de unidade esquecida justamente no dado que deveria ter sido convertido (a largura, dada em cm).

🏆 Gabarito: C — 130 tábuas é o único valor que, substituído na equação 100n + 15(n − 1) = 14.935 (todas as grandezas em milímetros), reproduz exatamente os 14,935 m de comprimento da passarela, sem sobra nem falta.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas n = 130 satisfaz simultaneamente a largura total das tábuas e a soma de todos os espaçamentos, verificado por substituição direta na equação.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a esse tipo de problema contextualizado — postes ao longo de uma avenida, mudas de árvores em fileira, azulejos com rejunte, tábuas de deck — sempre testando se o candidato sabe modelar a relação "elementos + intervalos" com uma equação do 1º grau.
• Generalização: sempre que objetos idênticos forem enfileirados com espaçamento regular e sem folga nas extremidades, use L = n·(medida do objeto) + (n − 1)·(espaçamento), converta tudo para a mesma unidade antes de montar a equação e resolva para n.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, escreva as três grandezas na mesma unidade (aqui, mm). Qualquer alternativa que "bata" com uma divisão simples sem subtrair o espaço extra do último elemento (como D) ou que ignore a conversão de cm para mm (como E) já denuncia um raciocínio incompleto — descarte-as de cara e desconfie de qualquer resultado que não seja exato ao ser verificado por substituição.
• Conexões: problemas de "cercas e postes" (progressões e contagem de intervalos) e questões de conversão de unidades de comprimento em contextos de engenharia e marcenaria são primos diretos deste exercício.