Questão 177 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções Trigonométricas (função seno, período, resolução de equações trigonométricas com parâmetro)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar equação trigonométrica, mudança de variável e uma desigualdade estrita sutil que separa a resposta certa da errada por um único instante.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômeno periódico por função seno e contagem de soluções de uma equação trigonométrica dentro de um intervalo de tempo — competência de resolver-problemas usando funções trigonométricas em contextos reais.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre o menor número inteiro positivo β para o qual a altura h(t) = 4 + 4·sen(βt/2 − π/2) atinja o valor 6 cm pelo menos três vezes antes de t = 4 segundos."
• Palavras-chave decisivas: "em menos de 4 segundos", "por três vezes", "menor valor inteiro"
• Armadilha típica: tratar "menos de 4 segundos" como "até 4 segundos" (usar ≤ em vez de <). Isso faz o candidato aceitar β = 4, que na verdade só produz a terceira ocorrência exatamente em t = 4 s — fora do prazo.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio para resolver sen θ = 1/2 de forma geral, transportar essa solução para a variável t através de uma mudança de variável linear, e comparar corretamente instantes com uma desigualdade estrita.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função seno e periodicidade: a função sen(θ) é periódica de período 2π e assume qualquer valor entre −1 e 1 duas vezes a cada período. Para sen θ = 1/2, as soluções gerais são θ = π/6 + 2kπ ou θ = 5π/6 + 2kπ, com k inteiro.
• Mudança de variável (argumento afim): quando o argumento do seno é uma função afim de t, como θ(t) = βt/2 − π/2, essa função é crescente em t (pois β > 0). Assim, cada instante t corresponde a exatamente um valor de θ, e "contar quantas vezes h(t) = 6 ocorre para t em certo intervalo" equivale a "contar quantos valores da lista de soluções de sen θ = 1/2 caem no intervalo correspondente de θ".
• Desigualdade estrita em problemas aplicados: a expressão "em menos de 4 segundos" define o intervalo t ∈ [0, 4) — o instante t = 4 está excluído. Isso é decisivo: um valor de β que faz a terceira ocorrência cair exatamente em t = 4 não satisfaz o enunciado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A função h(t) = 4 + 4sen(βt/2 − π/2) definida para t ≥ 0" → dá a lei completa da altura; note que h(0) = 4 + 4·sen(−π/2) = 4 − 4 = 0, batendo com a figura (h(0) = 0).
• Evidência 2: "em menos de 4 segundos ... a altura ... alcance por três vezes o valor de 6 cm" → a condição de "boa potência" exige contar exatamente (no mínimo) 3 instantes distintos t ∈ [0, 4) com h(t) = 6.
• Evidência 3: "utilize 3 como aproximação para π" → converte as soluções angulares π/6 e 5π/6 em números decimais simples (0,5 e 2,5), o que só serve para tornar a conta numérica mais limpa — o raciocínio de contagem de soluções é o mesmo com π exato.
• Síntese: o caminho é (i) igualar h(t) a 6 e isolar sen θ; (ii) escrever as duas famílias de soluções de sen θ = 1/2; (iii) usar a mudança de variável para converter essas soluções em instantes t, em função de β; (iv) testar os menores inteiros positivos de β até encontrar o primeiro que garanta 3 instantes estritamente menores que 4 s.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar e resolver a equação h(t) = 6

Substituindo na lei da função:

h(t) = 4 + 4·sen(βt/2 − π/2) = 6

4·sen(βt/2 − π/2) = 2

sen(βt/2 − π/2) = 1/2

Chamando θ = βt/2 − π/2, a equação fica sen θ = 1/2, cujas soluções gerais (dentro de um período) são:

θ = π/6 + 2kπ ou θ = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ

Usando π ≈ 3 (conforme instrução do enunciado): π/6 ≈ 0,5 e 5π/6 ≈ 2,5, e o período 2π ≈ 6. Assim, em ordem crescente, as soluções de θ são:

θ₁ = 0,5 ; θ₂ = 2,5 ; θ₃ = 6,5 ; θ₄ = 8,5 ; ...

Subpasso 4.2 — Traduzir θ de volta para t e isolar β

Como θ(t) = βt/2 − π/2 é crescente em t (β > 0), no instante t = 0 temos θ(0) = −π/2 ≈ −1,5, e no instante-limite t = 4 s temos:

θ(4) = β·4/2 − π/2 = 2β − 1,5

A quantidade de vezes que h(t) = 6 ocorre para t em [0, 4) é igual à quantidade de valores da lista θ₁, θ₂, θ₃, ... que são estritamente menores que θ(4). Para garantir 3 ocorrências, é preciso que θ(4) ultrapasse θ₃ = 6,5:

2β − 1,5 > 6,5

2β > 8

β > 4

Como β deve ser um número inteiro positivo, o menor valor que satisfaz β > 4 é:

β = 5

Subpasso 4.3 — Verificação numérica direta

Para β = 5: θ(t) = 5t/2 − 1,5. Resolvendo θ = 0,5; 2,5; 6,5 e 8,5:

• θ = 0,5 → 5t/2 = 2 → t = 0,8 s
• θ = 2,5 → 5t/2 = 4 → t = 1,6 s
• θ = 6,5 → 5t/2 = 8 → t = 3,2 s (terceira ocorrência, ainda dentro de [0,4))
• θ = 8,5 → 5t/2 = 10 → t = 4,0 s (quarta ocorrência cairia exatamente em t = 4 s, fora do intervalo aberto)

Logo, com β = 5, h(t) = 6 cm exatamente três vezes em t = 0,8 s; 1,6 s e 3,2 s — todas menores que 4 s. Testando β = 4: θ(t) = 2t − 1,5, e a terceira solução (θ = 6,5) ocorre em t = 4,0 s exatos, que não é "menos de 4 segundos". Portanto β = 4 garante apenas 2 ocorrências válidas, e β = 5 é de fato o menor inteiro que cumpre a exigência.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1.

❌ Incorreta: com β = 1, θ(4) = 2(1) − 1,5 = 0,5, que coincide exatamente com a primeira solução (θ₁ = 0,5) apenas no instante-limite t = 4 s. Isso significa que nenhuma ocorrência de h(t) = 6 acontece estritamente antes de 4 s — o motor está muito longe de atingir as três passagens exigidas.

B) 2.

❌ Incorreta: com β = 2, θ(4) = 2(2) − 1,5 = 2,5, que é exatamente a segunda solução (θ₂ = 2,5), atingida só em t = 4 s. Apenas a primeira ocorrência (t = 2 s) fica dentro do intervalo aberto [0,4) — logo apenas 1 passagem válida, insuficiente.

C) 4.

❌ Incorreta: é o valor "quase certo" que confunde muitos candidatos. Com β = 4, a terceira solução (θ₃ = 6,5) corresponde a t = 4,0 s exatos — instante que não está incluído em "menos de 4 segundos". Por isso, apenas duas ocorrências (t = 1 s e t = 2 s) são válidas, faltando exatamente a terceira para cumprir a condição de boa potência.

D) 5.

✅ Correta: é o menor inteiro positivo para o qual a desigualdade 2β − 1,5 > 6,5 é satisfeita. Com β = 5, as três primeiras ocorrências de h(t) = 6 acontecem em t = 0,8 s; 1,6 s e 3,2 s, todas estritamente menores que 4 s, cumprindo exatamente a exigência de "boa potência".

E) 8.

❌ Incorreta: embora β = 8 também satisfaça (e com folga) a condição de três passagens por 6 cm antes de 4 s, ele não é o menor inteiro possível — a questão pede o menor valor, e valores intermediários como β = 5, 6 e 7 já cumprem a exigência antes de se chegar a 8.

🏆 Gabarito: D — β = 5 é o menor inteiro positivo que faz a terceira ocorrência de h(t) = 6 cm acontecer estritamente antes de t = 4 s (em t = 3,2 s), enquanto β = 4 deixa essa terceira ocorrência cair exatamente em t = 4 s, fora do prazo exigido.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: β = 5 é o único inteiro que garante simultaneamente (i) pelo menos 3 ocorrências de h(t) = 6 cm e (ii) todas estritamente antes de t = 4 s — condição necessária e suficiente descrita no enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa contextos de engenharia (motores, ondas, movimento circular, marés) para embutir funções seno/cosseno com parâmetro no argumento, testando se o estudante sabe resolver sen θ = k ou cos θ = k de forma geral e depois "traduzir" essa solução angular de volta para a variável do problema (tempo, posição etc.).
• Generalização: sempre que o argumento do seno ou cosseno for uma função afim de t (do tipo at + b), a contagem de soluções de f(t) = valor num intervalo de tempo pode ser feita contando quantos termos da progressão aritmética de soluções angulares (θ, θ + 2π, θ + 4π, ...) caem dentro do intervalo transformado de θ.
• Dica de eliminação rápida: teste sempre o valor "redondo" mais óbvio (aqui, β = 4) calculando se a última ocorrência cai exatamente no limite do intervalo — se cair, ele quase sempre é uma alternativa "pegadinha" armada para o candidato que usa ≤ em vez de <.
• Conexões: este problema se conecta a funções horárias do MRUV/MHS em Física e a problemas de "maré" ou "roda-gigante" que também usam h(t) = A + B·sen(ωt + φ) — o mesmo raciocínio de mudança de variável se aplica.