Questão 175 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume do cilindro) e Grandezas e Medidas (conservação de volume)
• ⚡ Nível: Difícil — não basta igualar volumes; é preciso perceber que parte da água fica presa dentro dos canos e não pode virar coluna vertical
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volumes de sólidos cilíndricos aplicado ao princípio físico dos vasos comunicantes (competência de Geometria e Medidas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Depois que a água do reservatório central se distribui pelos quatro auxiliares até todas as alturas ficarem iguais, qual é essa altura comum nos auxiliares?"
• Palavras-chave decisivas: vasos comunicantes, alturas... se igualam, canos... próximos às bases
• Armadilha típica: tratar o problema como uma simples "regra de três de volumes" e esquecer que os canos, cheios de água em toda a extensão de 20 m, retêm um volume que nunca se transforma em coluna vertical em nenhum reservatório.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de conservar volume total, reconhecer que vasos comunicantes igualam ALTURAS (não volumes) entre recipientes de bases diferentes, e descontar corretamente o volume "morto" da tubulação.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro: V = π·r²·h, em que r é o raio da base e h a altura da coluna de líquido.
• Princípio dos vasos comunicantes: em recipientes interligados na base, contendo o mesmo líquido em equilíbrio, a altura da coluna de líquido é a MESMA em todos eles, independentemente da área da base de cada um — o que varia é o volume armazenado em cada recipiente.
• Conservação de volume (massa de água constante): como não há perda nem entrada de água no sistema, o volume total inicial (só no reservatório central) é igual à soma de tudo que existe no sistema no final: as colunas nos cinco reservatórios MAIS a água que permanece dentro dos quatro canos.
• Volume do cilindro deitado (o cano): mesmo horizontal, o cano é um cilindro; seu volume também segue V = π·r²·L, com L sendo o comprimento do tubo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m" (reservatório central cheio) → define todo o volume de água disponível no sistema, pois os auxiliares partem vazios.
• Evidência 2: "raios internos e alturas internas medindo 1,5 m" (auxiliares) → dá a área da base dos quatro reservatórios que vão receber água, e também o limite físico de 1,5 m — é preciso confirmar depois que a altura final não ultrapassa isso (senão a água transbordaria).
• Evidência 3: "canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases" → como os canos ficam praticamente no fundo dos reservatórios, e a água final vai formar colunas bem mais altas que o diâmetro do cano (0,10 m), os quatro tubos permanecem 100% cheios do início ao fim. Esse volume nunca sobe para virar coluna — é o detalhe que decide a questão.
• Evidência 4: "as alturas das colunas de água... se igualam... pelo princípio dos vasos comunicantes" → confirma que a incógnita é uma altura ÚNICA e comum a Rc, R1, R2, R3 e R4.
• Síntese: o caminho é calcular o volume total de água, subtrair o que fica preso nos quatro canos e dividir o restante pela soma das cinco áreas de base (Rc + 4 auxiliares), já que todas terminam com a mesma altura h.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume total de água disponível

Toda a água do sistema está, inicialmente, no reservatório central cheio:

V_total = π·r²·h = π·(2)²·(3,30) = π·4·3,30 = 13,2π m³

Subpasso 4.2 — Volume de água que fica retido dentro dos canos

Cada cano tem diâmetro interno 0,10 m → raio 0,05 m e comprimento 20 m:

V_cano = π·r²·L = π·(0,05)²·(20) = π·0,0025·20 = 0,05π m³ (por cano)

Como são 4 canos idênticos: V_canos = 4 × 0,05π = 0,2π m³

Esses 0,2π m³ permanecem sempre dentro da tubulação (ela nunca esvazia, pois a coluna final de água é muito maior que o diâmetro do cano) e por isso devem ser descontados antes de repartir a altura entre os reservatórios.

Subpasso 4.3 — Volume que efetivamente forma as colunas de altura h

V_colunas = V_total − V_canos = 13,2π − 0,2π = 13π m³

Esse volume se reparte em 5 colunas de mesma altura h — uma no central e quatro nos auxiliares. As áreas das bases são:

Área da base de Rc: π·(2)² = 4π m²

Área da base de cada auxiliar: π·(1,5)² = 2,25π m²; para os 4: 4 × 2,25π = 9π m²

Área total das 5 bases: 4π + 9π = 13π m²

Subpasso 4.4 — Isolando a altura comum h

V_colunas = h × (área total das bases)

13π = h × 13π

h = 1,00 m

Subpasso 4.5 — Verificação

✓ h = 1,00 m < 1,5 m (altura dos auxiliares) — a água não transborda.

✓ h = 1,00 m < 3,30 m (altura do central) — resultado fisicamente coerente.

✓ Conferindo o volume: no final, Rc tem 4π×1 = 4π m³; os 4 auxiliares juntos têm 9π×1 = 9π m³; somando os 0,2π m³ presos nos canos, o total é 4π + 9π + 0,2π = 13,2π m³, exatamente igual ao volume inicial. O balanço fecha perfeitamente, confirmando h = 1,00 m.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,44.

❌ Incorreta: esse valor aparece quando se desconta corretamente a água dos canos (13π m³ restantes), mas se esquece de que o próprio reservatório central também termina com uma coluna de altura h — o erro é imaginar que toda a água disponível migra apenas para os 4 auxiliares: 13π ÷ 9π = 1,444... ≈ 1,44. O erro conceitual é achar que o vaso comunicante "de origem" esvazia por completo, quando na verdade ele estabiliza na mesma altura que os demais.

B) 1,16

❌ Incorreta: surge de confundir "igualar alturas" com "igualar volumes" — reparte-se a água disponível igualmente EM VOLUME entre os 5 reservatórios (13π ÷ 5 = 2,6π cada) e depois converte-se esse volume em altura usando a área de um auxiliar: 2,6π ÷ 2,25π ≈ 1,156 ≈ 1,16. O erro conceitual é essencial: vasos comunicantes igualam a ALTURA, não o volume — recipientes de bases diferentes atingem a mesma altura guardando volumes diferentes.

C) 1,10.

❌ Incorreta: combina duas falhas — arredondar precipitadamente a área da base auxiliar usando 1,5² ≈ 2 (em vez do valor exato 2,25) e esquecer de descontar a água presa nos canos: 13,2 ÷ 12 = 1,10 exatamente. O erro conceitual é o arredondamento indevido de uma potência decimal num problema que exige precisão, somado à ausência do desconto do volume "morto" da tubulação.

D) 1,00.

✅ Correta: é o resultado do balanço de volume completo e correto — volume total do reservatório central (13,2π m³), menos o volume permanentemente retido nos quatro canos (0,2π m³), dividido pela soma das áreas das cinco bases que atingem a mesma altura (13π m²), resultando em h = 1,00 m.

E) 0,95.

❌ Incorreta: resulta de confundir diâmetro com raio na tubulação — usar 0,10 m diretamente como RAIO do cano (em vez de calcular o raio 0,05 m a partir do diâmetro) infla o volume retido em cada cano 4 vezes (de 0,05π para 0,2π por cano, totalizando 0,8π nos quatro): (13,2π − 0,8π) ÷ 13π = 12,4 ÷ 13 ≈ 0,954 ≈ 0,95. É o clássico deslize entre diâmetro e raio, que a questão testa deliberadamente ao fornecer o diâmetro interno do cano.

🏆 Gabarito: D — o balanço volumétrico completo (volume total menos o que fica preso nos canos, dividido pela soma das cinco áreas de base) resulta em h = 1,00 m, a única alternativa compatível com a conservação de água do sistema.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente h = 1,00 m fecha o balanço de volume: 4π (Rc) + 9π (4 auxiliares) + 0,2π (água presa nos canos) = 13,2π m³, idêntico ao volume inicial do reservatório central cheio.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa vasos comunicantes com recipientes de bases DIFERENTES justamente para testar se o candidato sabe que a grandeza que se iguala é a ALTURA, e não o volume — e frequentemente esconde um "volume morto" (aqui, os canos) que deve ser descontado antes da divisão final.
• Generalização: em qualquer problema de vasos comunicantes com recipientes de seções diferentes, monte a equação Volume total disponível = h × (soma das áreas das bases que se equalizam), descontando antes qualquer volume que não vá formar coluna vertical (tubulações, reentrâncias, partes fixas).
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a soma das áreas das bases dos cinco reservatórios (13π) e o volume total (13,2π); se a diferença entre eles não for "redonda", desconfie de um volume extra escondido no enunciado (aqui, os canos) — isso já direciona para 1,00 m e descarta de cara valores muito distantes, como 1,44.
• Conexões: problemas de mistura/diluição com conservação de volume e questões de hidrostática (pressão em vasos comunicantes) exploram o mesmo raciocínio de "igualar alturas, não volumes".