Questão 155 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sequências numéricas periódicas e divisão euclidiana (aritmética do resto)
• ⚡ Nível: Médio — o raciocínio é simples de enunciar, mas exige cuidado técnico ao interpretar o resto da divisão para não errar por "um item" a mais ou a menos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecimento de padrões em sequências repetitivas e uso do resto da divisão para localizar um termo distante (Competência de Área 3 do ENEM — resolver situações-problema envolvendo conhecimentos numéricos).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um bloco de números que se repete indefinidamente, descubra qual peça corresponde exatamente à posição 2.015 dessa sequência."
• Palavras-chave decisivas: "padrão de formação", "repetição de um bloco", "2.015º item"
• Armadilha típica: dividir 2.015 pelo tamanho do bloco e usar o resto sem checá-lo com cuidado — muitos candidatos confundem o tamanho do bloco (acham que se repete a cada 5, e não a cada 8) ou esquecem de tratar corretamente o caso em que o resto é zero.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente o tamanho e a ordem do bloco repetido, efetuar a divisão de 2.015 pelo tamanho do bloco, interpretar o resto como a posição do termo dentro do bloco e, por fim, traduzir esse número de volta para o nome da peça usando a codificação dada.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sequência periódica: é aquela em que um grupo fixo de termos (o "bloco" ou "período") se repete indefinidamente, na mesma ordem, do início ao fim da sequência.
• Divisão euclidiana (algoritmo da divisão): para quaisquer números naturais n e d (d > 0), existem únicos q (quociente) e r (resto) tais que n = d·q + r, com 0 ≤ r < d. É essa ferramenta que permite "pular" milhares de termos sem escrevê-los um a um.
• Resto como índice de posição: numa sequência de período p, o termo de posição n corresponde ao r-ésimo elemento do bloco, onde r é o resto de n ÷ p; se o resto for 0, o termo procurado é o último elemento do bloco (pois a divisão indica que n é múltiplo exato de p).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4,…" → o enunciado já exibe três repetições completas do mesmo grupo de oito números, confirmando visualmente que o período (tamanho do bloco) é 8, e não 5, 4 ou outro valor que um leitor apressado poderia supor.
• Evidência 2: "1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção, 4: catalisador e 5: amortecedor" → fornece o "dicionário" numérico que converte o código encontrado no cálculo em nome de peça, etapa indispensável para escolher a alternativa correta.
• Síntese: o problema se reduz a duas etapas objetivas — (1) achar em que posição do bloco de 8 números cai o item 2.015 via divisão com resto e (2) usar a tabela de codificação para nomear a peça correspondente a esse número.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o bloco repetido e seu tamanho

Observando os oito primeiros termos da sequência: 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4. O nono termo volta a ser 5, reiniciando exatamente o mesmo padrão. Logo, o bloco que se repete é

B = (5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4), com período p = 8.

Repare que dentro desse bloco os códigos 3 e 4 aparecem duas vezes cada (nas posições 3ª/7ª e 2ª/8ª, respectivamente), enquanto 1 e 5 aparecem uma única vez (posições 5ª e 1ª). Essa assimetria será importante na análise das alternativas.

Subpasso 4.2 — Dividir 2.015 pelo tamanho do bloco (8) e interpretar o resto

2.015 ÷ 8: como 8 × 251 = 2.008, sobra 2.015 − 2.008 = 7.

Ou seja, 2.015 = 8 × 251 + 7, com quociente 251 e resto 7.

Isso significa que os primeiros 2.008 itens cadastrados completam exatamente 251 blocos inteiros de 8 peças, e o item 2.015 é o 7º elemento do bloco seguinte (o 252º bloco), pois sobram 7 posições após o último bloco fechado.

O 7º elemento do bloco B = (5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4) é o número 3.

Subpasso 4.3 — Verificação

Para confirmar o método com números pequenos, aplicamos a mesma lógica a posições já visíveis na sequência dada:

• Posição 7: 7 ÷ 8 dá quociente 0 e resto 7 → 7º elemento do bloco = 3. Conferindo na sequência escrita no enunciado, o 7º termo é de fato 3. ✓
• Posição 15: 15 ÷ 8 dá quociente 1 e resto 7 → 7º elemento do bloco = 3. Conferindo, o 15º termo da sequência dada também é 3. ✓

O método está validado, e o código do item 2.015 é 3. Pela tabela de codificação, o número 3 corresponde a caixa de direção.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) rolamento.

❌ Incorreta: rolamento é o código 1, que só ocupa a 5ª posição do bloco de 8. Isso exigiria que o resto da divisão de 2.015 por 8 fosse 5, mas o resto correto é 7 — essa alternativa tentaria o candidato que erra o resto por um deslize de contagem ou que usa o bloco errado.

B) catalisador.

❌ Incorreta: catalisador é o código 4, associado aos restos 2 (2ª posição) e 0 (8ª posição, quando a divisão é exata). Como 2.015 não é múltiplo de 8 e o resto obtido foi 7 (não 2), essa alternativa não se sustenta; ela costuma capturar quem confunde a posição do resto com a posição "final" do bloco.

C) amortecedor.

❌ Incorreta: amortecedor é o código 5, que aparece somente na 1ª posição de cada bloco (isto é, quando o resto da divisão por 8 é exatamente 1). Isso corresponderia a itens como o 2.009º, e não ao 2.015º; um erro comum aqui é subtrair 2.008 de 2.015 e, por engano, somar 1 em vez do valor correto do resto.

D) pastilha de freio.

❌ Incorreta: pastilha de freio é o código 2, ligado aos restos 4 (4ª posição) e 6 (6ª posição) do bloco. Nenhum desses coincide com o resto 7 encontrado no cálculo; escolher essa alternativa normalmente indica um erro na divisão 2.015 ÷ 8, arredondando o quociente incorretamente.

E) caixa de direção.

✅ Correta: caixa de direção é o código 3, que ocupa as posições 3ª e 7ª do bloco. Como o resto da divisão de 2.015 por 8 é exatamente 7, o item 2.015 recai sobre essa segunda ocorrência do código 3 dentro do bloco — resultado plenamente confirmado pela verificação feita no Subpasso 4.3.

🏆 Gabarito: E — o item 2.015 é o 7º elemento do 252º bloco da sequência periódica (2.015 = 8 × 251 + 7), e o 7º elemento do bloco (5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4) é o código 3, correspondente a caixa de direção.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra alternativa é compatível com o resto 7 obtido na divisão de 2.015 por 8; apenas o código 3 (caixa de direção) ocupa essa posição dentro do bloco, o que torna E a única resposta possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a sequências periódicas disfarçadas de contextos cotidianos — calendários, cores em sequência, letras em código, produtos em uma linha de produção — sempre testando a mesma habilidade: transformar "achar o termo de posição N" em uma simples divisão com resto.
• Generalização: para encontrar o n-ésimo termo de uma sequência de período p, calcule o resto r de n ÷ p. Se r ≠ 0, o termo procurado é o r-ésimo elemento do bloco; se r = 0, o termo procurado é o último elemento do bloco (a n-ésima posição fecha um bloco completo).
• Dica de eliminação rápida: assim que identificar o bloco, monte mentalmente uma pequena tabela "resto → elemento" (aqui: 1→5, 2→4, 3→3, 4→2, 5→1, 6→2, 7→3, 0/8→4). Com essa tabela pronta, qualquer posição gigantesca vira uma simples consulta, e você elimina alternativas incompatíveis em segundos, sem escrever a sequência inteira.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas como "que dia da semana cairá daqui a X dias" (período 7) ou "qual cor ocupa a posição N" em sequências de cores repetidas em progressão — em todos os casos, o núcleo da solução é a aritmética modular (resto da divisão).