Questão 157 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros regulares, truncamento de sólidos)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualizar mentalmente uma operação tridimensional pouco usual (truncamento) e generalizar o que acontece nos 4 vértices e nas 4 faces do tetraedro.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem e classificação de faces de um poliedro gerado por truncamento; reconhecimento de elementos geométricos de sólidos (competência de área 2, habilidade de geometria espacial).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Ao cortar as 4 pontas de um tetraedro regular, removendo 1/3 de cada aresta em cada corte, quantas faces de cada tipo (e de que forma) o novo sólido terá?"
• Palavras-chave decisivas: secções paralelas a cada uma das faces, um terço das arestas seccionadas serão removidas, truncado
• Armadilha típica: olhar só para a segunda figura (que mostra apenas um corte já feito, para ilustrar a técnica) e concluir que apenas um vértice é truncado — quando, na verdade, o enunciado diz "cada uma das faces", ou seja, o corte se repete nos 4 vértices do tetraedro.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a operação de corte em números concretos de faces (quantas e de que polígono), verificando a coerência entre vértices cortados → triângulos novos, e faces originais cortadas nos cantos → hexágonos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Tetraedro regular: poliedro de Platão com 4 faces triangulares equiláteras, 4 vértices e 6 arestas, todas de mesmo comprimento a. Em cada vértice concorrem exatamente 3 arestas e 3 faces.
• Truncamento de poliedro: operação que corta cada vértice por um plano (aqui, paralelo à face oposta a esse vértice), substituindo a "ponta" por uma nova face poligonal e transformando cada face original, que perde os cantos, em um polígono com o dobro de lados.
• Simetria e regularidade: quando o corte remove a mesma fração (1/3) de cada aresta que concorre em um vértice — e todas as arestas do tetraedro regular são iguais — as novas faces geradas herdam a simetria do sólido original e resultam em polígonos regulares.
• Relação de Euler (V − A + F = 2): ferramenta para conferir se a contagem final de vértices, arestas e faces é consistente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular" → como o tetraedro tem 4 faces, existem 4 planos de corte, um por face — e cada plano de corte, paralelo a uma face, remove justamente o vértice oposto a ela. Logo, os 4 vértices são truncados, não apenas um.
• Evidência 2: "em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas" (reforçada pela cota a/3 na figura) → cada corte elimina exatamente o trecho de comprimento a/3 nas extremidades de cada aresta, restando o terço central (também a/3) como aresta nova do sólido truncado.
• Síntese: unindo as duas evidências — 4 vértices cortados de forma simétrica geram 4 novas faces triangulares, e as 4 faces triangulares originais, ao perderem seus 3 cantos, viram 4 hexágonos. É essa contagem que decide a alternativa correta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Elementos do tetraedro original

Um tetraedro regular tem V = 4 vértices, A = 6 arestas e F = 4 faces (todas triângulos equiláteros de lado a). Em cada vértice concorrem 3 arestas.

Subpasso 4.2 — O que surge em cada vértice truncado

No corte, as 3 arestas que concorrem em um vértice são seccionadas a uma distância a/3 desse vértice (exatamente o que a figura indica). No lugar da "ponta" removida, surge uma nova face com 3 lados — um triângulo. Como o vértice do tetraedro regular tem simetria de rotação de 120° entre suas 3 arestas, os 3 pontos de corte formam um triângulo equilátero, de lado a/3. Como há 4 vértices, esse processo cria 4 triângulos equiláteros.

Subpasso 4.3 — O que sobra de cada face original

Cada face original é um triângulo equilátero de lado a, e cada um de seus 3 cantos coincide com um vértice do tetraedro — logo, é cortado. Retirando os 3 cantinhos triangulares (de lado a/3) de uma face, o que resta é um polígono de 6 lados: os 3 trechos centrais das arestas antigas, cada um medindo a − 2(a/3) = a/3, alternados com os 3 novos lados criados pelo corte, cada um também de comprimento a/3 (lado do triângulo cortado). Todos os 6 lados desse polígono medem a/3, e por simetria (a face original era equilátera e os 3 cortes são idênticos) todos os ângulos internos também são iguais entre si — trata-se, portanto, de um hexágono regular. Como o tetraedro tem 4 faces, obtemos 4 hexágonos regulares.

Subpasso 4.4 — Verificação pela Relação de Euler

Faces do novo sólido: F = 4 hexágonos + 4 triângulos = 8.

Vértices: cada vértice original vira 3 novos vértices (um por aresta cortada) → V = 4 × 3 = 12.

Arestas: 6 trechos centrais das arestas antigas + 3 lados novos por vértice × 4 vértices (12) → A = 6 + 12 = 18.

Conferindo: V − A + F = 12 − 18 + 8 = 2 ✓. A contagem fecha exatamente com a Relação de Euler, confirmando 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros — este sólido é, de fato, o conhecido "tetraedro truncado" (um sólido de Arquimedes).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

✅ Correta: é exatamente o resultado da contagem — os 4 vértices truncados geram 4 triângulos equiláteros e as 4 faces originais, com os cantos cortados, geram 4 hexágonos regulares, resultado confirmado pela Relação de Euler (V=12, A=18, F=8).

B) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

❌ Incorreta: os triângulos estão certos, mas o número de hexágonos não. Esse erro surge de imaginar que apenas parte das faces é afetada pelo truncamento — mas no tetraedro toda face compartilha vértices com todas as demais (não há "faces opostas" livres de corte, como existiriam em outros poliedros), logo as 4 faces, sem exceção, se transformam em hexágonos.

C) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.

❌ Incorreta em dois pontos: cada face original, ao perder seus 3 cantos, resulta necessariamente em um polígono de 6 lados (3 lados remanescentes + 3 novos), nunca em um quadrilátero de 4 lados; além disso, como o corte remove sempre a mesma fração (1/3) de arestas de igual comprimento a, os triângulos formados são equiláteros, não isósceles.

D) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.

❌ Incorreta: erra tanto a quantidade (deveriam ser 4 faces "grandes", uma por face original do tetraedro, não 3) quanto a forma dessas faces (hexágonos regulares, e não quadriláteros) e a forma dos triângulos (equiláteros, pois a simetria do tetraedro regular garante lados iguais, não isósceles).

E) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

❌ Incorreta: os triângulos estão corretos, mas o número de hexágonos está errado — são 4, um para cada uma das 4 faces do tetraedro original, e não 3, já que nenhuma face escapa do processo de truncamento.

🏆 Gabarito: A — O truncamento simétrico de 1/3 em cada aresta de um tetraedro regular transforma seus 4 vértices em 4 triângulos equiláteros e suas 4 faces em 4 hexágonos regulares, gerando o sólido arquimediano conhecido como tetraedro truncado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única compatível com a estrutura do tetraedro original (4 vértices, 4 faces) e com a Relação de Euler (V − A + F = 2), o que confere segurança total ao resultado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar sólidos de Platão e suas transformações (truncamentos, seções, planificações) pedindo que o estudante conte faces, vértices ou arestas a partir de uma descrição textual apoiada em figura — sem exigir fórmulas decoradas, mas exigindo raciocínio espacial estruturado.
• Generalização: ao truncar (cortar simetricamente todos os vértices de) um poliedro regular, cada face original de n lados se transforma em um polígono regular de 2n lados, e cada vértice de grau k (onde concorrem k arestas) origina uma nova face poligonal regular de k lados.
• Dica de eliminação rápida: basta contar os elementos do sólido original — número de faces (aqui, 4) dá o número de hexágonos, e número de vértices (aqui, também 4) dá o número de triângulos. Isso elimina de cara qualquer alternativa com quantidade diferente de 4 para algum dos dois grupos (B, D e E caem imediatamente).
• Conexões: Relação de Euler para poliedros convexos; outros sólidos de Arquimedes gerados por truncamento, como o icosaedro truncado (a clássica "bola de futebol", com hexágonos e pentágonos) e o cubo truncado.