Questão 166 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (Teorema de Pitágoras aplicado a uma situação de dobradura)
• ⚡ Nível: Médio — a conta final é uma única aplicação de Pitágoras, mas o desafio real está em "ler" a figura da dobradura e montar o triângulo retângulo correto
• 🎯 Tema/Habilidade: Teorema de Pitágoras em contexto real (origami); competência de modelar geometricamente uma situação prática usando propriedades do retângulo
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o comprimento do vinco AE, a linha de dobra que leva o canto inferior esquerdo da folha retangular até o ponto E, marcado sobre a base a 12 cm do vértice C."
• Palavras-chave decisivas: dobrando, primeira dobradura, segmento AE
• Armadilha típica: confundir AE com um dos lados já conhecidos do retângulo (12 cm ou 18 cm) ou calcular a diagonal inteira do retângulo (que usaria 18 e 12 como catetos, dando 6√13, valor que nem aparece nas alternativas) em vez de identificar o triângulo retângulo menor realmente formado pela dobra.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de completar mentalmente o retângulo (usando a propriedade de lados opostos iguais), localizar o ponto E sobre a base e reconhecer o triângulo retângulo auxiliar antes de aplicar Pitágoras.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Lados opostos do retângulo: em qualquer retângulo, lados opostos são congruentes. Se AB = 18 cm (base superior) e BC = 12 cm (lado direito), então o lado esquerdo também mede 12 cm e a base inferior também mede 18 cm — mesmo que a figura não repita esses rótulos.
• Dobradura como reflexão (isometria): dobrar papel ao longo de um vinco equivale a refletir a região dobrada em torno dessa linha. Uma reflexão preserva distâncias e ângulos, então tudo que existia na parte dobrada "reaparece" do outro lado do vinco com as mesmas medidas.
• Teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "folha de papel de 18 cm por 12 cm" + rótulos "AB = 18 cm" e "BC = 12 cm" na figura → fixa as dimensões do retângulo original. Completando mentalmente a figura, o quarto vértice (inferior esquerdo, sem letra — vamos chamá-lo de P) fecha um retângulo ABCP com AP = 12 cm e PC = 18 cm.
• Evidência 2: o rótulo "EC = 12 cm" na base da figura → revela que E não é o vértice original do retângulo, e sim um ponto sobre o lado inferior PC, a 12 cm de C. Logo, a distância do outro extremo (P) até E é PE = PC − EC = 18 − 12 = 6 cm.
• Evidência 3: o pequeno quadrado de ângulo reto marcado em D, entre os segmentos AD e DE → mostra que, depois de dobrado, o canto que antes era P "pousa" em D, preservando o ângulo reto original do retângulo (90°) e as distâncias AD = AP e DE = PE.
• Síntese: a figura mostra a folha já dobrada ao longo do vinco AE: o triângulo APE (reto em P, com catetos 12 e 6) foi levantado e refletido sobre AE, aparecendo na figura final como o triângulo congruente ADE. Como o vinco AE não se move numa dobra, seu comprimento pode ser calculado direto no triângulo original APE.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reconstruir o retângulo e localizar E

Chame de P o quarto vértice do retângulo (canto inferior esquerdo, não rotulado na figura). Como ABCP é retângulo:

• AP = BC = 12 cm (lados verticais opostos)
• PC = AB = 18 cm (lados horizontais opostos)

O ponto E está sobre o lado PC, com EC = 12 cm (dado da figura). Então:

PE = PC − EC = 18 − 12 = 6 cm

Subpasso 4.2 — Isolar o triângulo retângulo e aplicar Pitágoras

P é vértice do retângulo, logo o ângulo APE (entre o lado AP e a base PE) é reto — é o próprio canto de 90° da folha. Isso torna o triângulo APE retângulo em P, com:

• cateto AP = 12 cm
• cateto PE = 6 cm
• hipotenusa AE = exatamente o vinco da dobradura, o segmento pedido

(Esse é o mesmo triângulo que aparece "espelhado" como ADE na figura final: dobrar o papel ao longo de AE reflete P até a posição D, preservando AD = AP = 12 cm, DE = PE = 6 cm e o ângulo reto — por isso o esquadrinho de 90° aparece em D, e não em P, na imagem já dobrada.)

Pelo Teorema de Pitágoras:

AE² = AP² + PE² = 12² + 6² = 144 + 36 = 180

AE = √180

Subpasso 4.3 — Verificação

Simplificando o radical: √180 = √(36 × 5) = √36 × √5 = 6√5 cm.

Confere com a alternativa D. Checagem de coerência: 6√5 ≈ 6 × 2,236 ≈ 13,4 cm — maior que os dois catetos (12 e 6), como toda hipotenusa deve ser, e menor que a diagonal completa do retângulo (√(18² + 12²) = 6√13 ≈ 21,6 cm), já que AE é apenas parte dessa diagonal maior. O resultado é geometricamente consistente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2√22 cm

❌ Incorreta: 2√22 = √88. Esse valor não corresponde a nenhum par de catetos coerente com a figura; costuma surgir de tentar montar o triângulo com medidas erradas (por exemplo, usar 2 cm em vez de 6 cm para PE), sem refazer corretamente a subtração 18 − 12.

B) 6√3 cm

❌ Incorreta: 6√3 = √108. Resultaria de um triângulo de catetos que somam quadrados igual a 108 (por exemplo 6² + √72² incoerentes), não de 12² + 6² = 180. É um radical "parecido" com o correto, armadilha para quem simplifica errado √180.

C) 12 cm

❌ Incorreta: é exatamente o valor do cateto AP (e também de BC). Essa é a armadilha mais forte da questão — quem não percebe que E está deslocado 6 cm do vértice original P (e não coincide com ele) acaba respondendo com a medida de um lado já conhecido do retângulo. Mas AE é a hipotenusa do triângulo, e a hipotenusa é sempre estritamente maior que qualquer cateto — logo, jamais poderia ser igual a 12 cm.

D) 6√5 cm

✅ Correta: é o resultado exato de AE² = 12² + 6² = 180 → AE = √180 = 6√5 cm, obtido a partir do triângulo retângulo formado pelo cateto vertical AP = 12 cm e pelo trecho da base PE = 18 − 12 = 6 cm.

E) 12√2 cm

❌ Incorreta: 12√2 = √288 corresponderia a um triângulo retângulo isósceles de catetos 12 e 12 (AE² = 12² + 12² = 288). Essa alternativa seduz quem supõe erradamente que PE também mede 12 cm (confundindo-o com AP ou com o próprio EC), ignorando que PE = 18 − 12 = 6 cm.

🏆 Gabarito: D — AE é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 12 cm (lado AP do retângulo) e 6 cm (trecho PE = 18 − 12 da base), o que dá AE = √(12² + 6²) = √180 = 6√5 cm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa compatível com o triângulo retângulo de catetos 12 cm e 6 cm efetivamente descrito pela figura — qualquer outro par de catetos usado leva a um dos "distratores" A, B ou E.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar o Teorema de Pitágoras em situações do cotidiano — escadas, rampas, antenas, construção civil e, como aqui, dobraduras de origami. A dificuldade quase nunca está na conta (a² = b² + c²), e sim em montar corretamente o triângulo retângulo escondido na situação descrita.
• Generalização: sempre que uma figura combinar as dimensões originais de uma forma com um ponto "extra" (como E aqui), reconstrua mentalmente a figura completa, use a propriedade de lados opostos iguais (em retângulos) para descobrir medidas não rotuladas, e só depois isole o triângulo retângulo relevante.
• Dica de eliminação rápida: descarte de cara qualquer alternativa igual a um cateto já conhecido (aqui, 12 cm — alternativa C), pois a hipotenusa é sempre maior que qualquer cateto; e desconfie de alternativas com catetos "iguais" (12 e 12, como em 12√2) quando o enunciado deixa claro que os dois segmentos têm medidas diferentes.
• Conexões: problemas de diagonal de retângulo/quadrado e problemas de "escada apoiada na parede" são primos diretos desta questão — todos se resolvem isolando o triângulo retângulo certo e aplicando Pitágoras.