Questão 163 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Potenciação, radiciação e comportamento de potências com base entre 0 e 1
• ⚡ Nível: Médio — exige perceber um comportamento contraintuitivo: para base entre 0 e 1, quanto MENOR o expoente, MAIOR é o resultado da potência
• 🎯 Tema/Habilidade: Comparação de potências de mesma base fracionária (0 < X < 1) usando expoentes inteiros e fracionários
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que 0 < X < 1, entre os valores X, √X, X^(1/3), X² e X³, qual é o maior?"
• Palavras-chave decisivas: "menor valor... zero", "maior... um", "nenhum... zerou ou atingiu o índice máximo"
• Armadilha típica: aplicar a intuição válida para números maiores que 1 — achar que elevar ao quadrado ou ao cubo sempre aumenta o valor, ou que extrair raiz sempre diminui. Para bases entre 0 e 1 essa lógica se inverte.
• O que a resposta precisa demonstrar: reconhecer que X está estritamente entre 0 e 1 e usar corretamente a propriedade de que, nesse intervalo, a potência é uma função decrescente em relação ao expoente.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Expoente fracionário como raiz: X^(1/n) = ⁿ√X. Logo, o segundo país tem IDH X^(1/2) (raiz quadrada) e o terceiro tem X^(1/3) (raiz cúbica).
• Comportamento da potência para 0 < base < 1: diferentemente do que ocorre com bases maiores que 1 (onde potência cresce com o expoente), quando 0 < X < 1 a função f(a) = X^a é decrescente: quanto maior o expoente a, menor o valor de X^a. Isso acontece porque multiplicar repetidamente um número fracionário por ele mesmo o aproxima cada vez mais de zero.
• Tradução do problema em expoentes: os cinco IDHs correspondem, respectivamente, aos expoentes 1 (X), 1/2 (√X), 1/3 (X^(1/3)), 2 (X²) e 3 (X³). Comparar os índices é equivalente a ordenar esses cinco expoentes e, por causa do decrescimento da função, inverter essa ordem para achar o maior valor.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O menor valor deste índice é zero e o maior é um" → estabelece que, teoricamente, o IDH pertence ao intervalo [0, 1].
• Evidência 2: "Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo" → garante que 0 < X < 1 estritamente, excluindo os casos degenerados X = 0 (todas as potências seriam 0) e X = 1 (todas as potências seriam 1, e não haveria "maior" definido).
• Síntese: com 0 < X < 1 confirmado, a questão se reduz a um problema puro de comparação de potências de mesma base fracionária com expoentes distintos — basta saber ordenar corretamente esses expoentes e aplicar a regra do decrescimento.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o expoente de cada país

Reescrevendo cada IDH como potência de X:

• 1º país: X = X¹ (expoente 1)
• 2º país: √X = X^(1/2) (expoente 1/2)
• 3º país: X^(1/3) (expoente 1/3)
• 4º país: X² (expoente 2)
• 5º país: X³ (expoente 3)

Subpasso 4.2 — Aplicar a regra de decrescimento para 0 < X < 1

Como 0 < X < 1, temos ln X < 0. Escrevendo X^a = e^(a·ln X), percebe-se que, sendo ln X negativo, a função é estritamente decrescente em a: aumentar o expoente diminui o valor da potência.

Ordenando os cinco expoentes do menor para o maior:

1/3 < 1/2 < 1 < 2 < 3

Como a função é decrescente, o maior valor de X^a corresponde ao menor expoente. O menor expoente da lista é 1/3, que pertence ao terceiro país (X^(1/3)).

Para visualizar concretamente, tome X = 1/16 = 0,0625 (um valor válido, pois 0 < 1/16 < 1):

• X¹ = 0,0625
• X^(1/2) = √(1/16) = 0,25
• X^(1/3) = ∛(1/16) ≈ 0,397
• X² = (1/16)² ≈ 0,0039
• X³ = (1/16)³ ≈ 0,000244

Ordenando do maior para o menor: X^(1/3) (0,397) > X^(1/2) (0,25) > X (0,0625) > X² (0,0039) > X³ (0,000244).

Subpasso 4.3 — Verificação

O exemplo numérico confirma exatamente a previsão teórica: o valor associado ao menor expoente (1/3) é o maior de todos, e isso vale para qualquer X entre 0 e 1, não apenas para o valor escolhido no exemplo — a demonstração via ln X < 0 garante isso de forma geral. Esse resultado aponta diretamente para o terceiro país.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) O primeiro.

❌ Incorreta: o primeiro país tem IDH igual a X (expoente 1). Esse expoente é maior que 1/3 e 1/2, portanto X é menor que √X e que X^(1/3). X só supera os países de expoente 2 e 3.

B) O segundo.

❌ Incorreta: o segundo país tem IDH √X (expoente 1/2). Embora 1/2 seja menor que 1, ainda é maior que 1/3. Como a função é decrescente no expoente, √X < X^(1/3) — o segundo país fica atrás do terceiro.

C) O terceiro.

✅ Correta: o terceiro país tem IDH X^(1/3) (expoente 1/3), o menor entre todos os cinco expoentes (1, 1/2, 1/3, 2, 3). Como 0 < X < 1 torna a potência decrescente em relação ao expoente, o menor expoente produz o maior valor — logo, o terceiro país tem o maior IDH.

D) O quarto.

❌ Incorreta: o quarto país tem IDH X² (expoente 2). Elevar um número entre 0 e 1 ao quadrado o afasta de 1 e o aproxima de zero, tornando X² menor até que o próprio X.

E) O quinto.

❌ Incorreta: o quinto país tem IDH X³ (expoente 3), o maior expoente de todos. Isso faz de X³ o menor valor entre os cinco IDHs — exatamente o oposto do que a alternativa sugere.

🏆 Gabarito: C — o terceiro país, com IDH igual a X^(1/3), possui o menor expoente (1/3) entre os cinco valores comparados; como 0 < X < 1, a potência decresce quando o expoente aumenta, então o menor expoente garante o maior IDH.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa C é a única compatível com a propriedade das potências de base fracionária: entre os expoentes 1, 1/2, 1/3, 2 e 3, o menor é 1/3, e para 0 < X < 1 o menor expoente sempre gera o maior resultado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar potências e radiciação em contextos de indicadores reais (índices, taxas, probabilidades, decaimento), testando se o estudante generaliza corretamente propriedades que só valem para números maiores que 1, indo além da decoreba.
• Generalização: para 0 < X < 1, a função f(a) = X^a é decrescente em a (expoentes menores geram valores maiores, mais próximos de 1); para X > 1, ocorre o oposto — a função é crescente em a. Sempre confira em qual desses dois regimes a base se encontra antes de comparar potências.
• Dica de eliminação rápida: ao ver uma base entre 0 e 1 elevada a expoentes ≥ 2, descarte-a de imediato como candidata a maior valor (aqui, D e E saem primeiro). Entre as raízes restantes, a de índice menor (raiz cúbica, 1/3) sempre supera a de índice maior (raiz quadrada, 1/2), pois "puxa" X para mais perto de 1.
• Conexões: essa mesma lógica aparece em comparações de frações elevadas a potências, em funções exponenciais decrescentes (0 < base < 1) e em problemas de juros/decaimento onde a base do fator multiplicador é menor que 1.