Questão 169 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (distância entre dois pontos no plano cartesiano)
• ⚡ Nível: Difícil — combina leitura de gráfico, cálculo de distância euclidiana entre vários pares de pontos e interpretação do conceito de "raio de abrangência comum" (mínimo entre dois raios).
• 🎯 Tema/Habilidade: Distância entre dois pontos no plano + interpretação de dados apresentados graficamente (competência de área de Matemática e suas Tecnologias — Grandezas e Medidas / Geometria Analítica).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os bares I, II, III, IV e V, identifique aquele que está simultaneamente dentro do raio de alcance de Q, R e S (e de P), de modo que os quatro usuários possam dar match ao mesmo tempo."
• Palavras-chave decisivas: simultaneamente, raio de abrangência, região de abrangência comum
• Armadilha típica: usar apenas o raio de 3 km do usuário P para testar os cinco bares contra Q, R e S. Isso deixa passar bares que "parecem" próximos de todos, mas que na verdade violam o raio menor de R (2 km) — o dado mais restritivo da questão e o que realmente decide a resposta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular a distância entre o bar candidato e cada um dos três usuários (Q, R, S) e compará-la ao menor raio entre P e cada um deles, pois o match só ocorre na interseção das duas áreas de cobertura.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Distância entre dois pontos: dados A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), a distância euclidiana é d(A,B) = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], a ferramenta central para "medir" no gráfico sem régua.
• Região de abrangência (círculo de raio r): o app enxerga como "alcançável" todo ponto cuja distância ao usuário seja ≤ r, ou seja, o interior de uma circunferência de raio r centrada no usuário.
• Condição de match (interseção de raios): dois usuários só se enxergam mutuamente se a distância entre eles for ≤ ao raio de ambos simultaneamente — isto é, ≤ ao menor dos dois raios. Não basta caber no raio de apenas um deles.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (posições no gráfico): P(0, 0); Q(3, 7); R(6, 7); S(5, 3); bares I(5, 6), II(4, 5), III(5, 5), IV(4, 6) e V(3, 4) → fornece as coordenadas exatas para calcular todas as distâncias necessárias.
• Evidência 2: "o usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km" e "Q, R e S ... definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km" → cada par (P–Q, P–R, P–S) tem um raio-limite próprio, que é o menor valor entre os dois raios envolvidos: 3 km com Q, 2 km com R e 3 km com S (pois 3 km de P é menor que os 5 km de S).
• Evidência 3: "em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente" → é preciso um único bar que satisfaça as três condições de distância ao mesmo tempo — não basta satisfazer duas delas.
• Síntese: o problema se resolve calculando, para cada um dos 5 bares, a distância até Q, R e S e verificando se ela respeita o teto de 3 km (Q), 2 km (R) e 3 km (S). O raio de 2 km com R é o mais apertado e, por isso, funciona como um "filtro" natural que já elimina a maioria dos candidatos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os dados e definir os limites de distância

Coordenadas lidas do gráfico (em km): Q(3, 7) raio 3 km; R(6, 7) raio 2 km; S(5, 3) raio 5 km; e os bares I(5, 6), II(4, 5), III(5, 5), IV(4, 6), V(3, 4). O raio de P é 3 km.

Como o match exige estar dentro do raio dos dois usuários envolvidos (P e o outro), o limite de cada par é o menor dos dois raios:

• Bar ↔ Q: mín(3, 3) = 3 km
• Bar ↔ R: mín(3, 2) = 2 km (o mais restritivo de todos)
• Bar ↔ S: mín(3, 5) = 3 km

Subpasso 4.2 — Testar o bar I, candidato mais central

d(I, Q) = √[(5−3)² + (6−7)²] = √(4+1) = √5 ≈ 2,24 km ≤ 3 km ✔

d(I, R) = √[(5−6)² + (6−7)²] = √(1+1) = √2 ≈ 1,41 km ≤ 2 km ✔

d(I, S) = √[(5−5)² + (6−3)²] = √(0+9) = √9 = 3 km ≤ 3 km ✔ (no limite, mas "menor ou igual" permite)

O bar I passa nas três condições simultaneamente.

Subpasso 4.3 — Verificação: descartar os demais bares usando o filtro mais rígido (raio de 2 km até R)

d(II, R) = √[(4−6)² + (5−7)²] = √(4+4) = √8 ≈ 2,83 km > 2 km ✘

d(III, R) = √[(5−6)² + (5−7)²] = √(1+4) = √5 ≈ 2,24 km > 2 km ✘

d(IV, R) = √[(4−6)² + (6−7)²] = √(4+1) = √5 ≈ 2,24 km > 2 km ✘

d(V, R) = √[(3−6)² + (4−7)²] = √(9+9) = √18 ≈ 4,24 km > 2 km ✘

Nenhum dos bares II, III, IV e V respeita o raio de 2 km de R — todos já são eliminados só por esse teste, sem precisar checar Q e S. Isso confirma que o bar I é o único ponto que garante match simultâneo com Q, R e S.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

✅ Correta: o bar I está a √5 ≈ 2,24 km de Q (≤ 3 km), √2 ≈ 1,41 km de R (≤ 2 km) e exatamente 3 km de S (≤ 3 km). É o único bar que atende simultaneamente aos três raios de abrangência combinados com o raio de P.

B) II.

❌ Incorreta: apesar de estar a uma distância aceitável de Q (√5 ≈ 2,24 km) e de S (√5 ≈ 2,24 km), a distância até R é √8 ≈ 2,83 km, que ultrapassa o raio combinado de 2 km — o match com R não ocorre.

C) III.

❌ Incorreta: a distância até R é √5 ≈ 2,24 km, superior ao limite de 2 km definido pelo raio de R. O erro típico é considerar apenas o raio de 3 km de P e ignorar que o raio próprio de R (2 km) é mais restritivo.

D) IV.

❌ Incorreta: falha em duas condições — a distância até R é √5 ≈ 2,24 km (> 2 km) e a distância até S é √10 ≈ 3,16 km (> 3 km). É o bar mais distante de S entre os candidatos próximos ao centro.

E) V.

❌ Incorreta: embora esteja exatamente a 3 km de Q (no limite) e a √5 ≈ 2,24 km de S, a distância até R é √18 ≈ 4,24 km, muito acima do raio de 2 km de R. É a alternativa que mais claramente falha, pois V está deslocado para a esquerda, longe de R.

🏆 Gabarito: A — o bar I é o único ponto cujas distâncias a Q (√5 km), R (√2 km) e S (3 km) respeitam simultaneamente os raios de abrangência combinados de 3 km, 2 km e 3 km, respectivamente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas o bar I satisfaz as três desigualdades de distância ao mesmo tempo; todos os outros bares são descartados só pelo teste com R, cujo raio de 2 km é o mais apertado da questão.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma contextualizar a fórmula da distância entre dois pontos com situações do cotidiano digital (apps, GPS, redes sociais), exigindo que o candidato traduza um texto longo em coordenadas e desigualdades antes de calcular.
• Generalização: sempre que o problema envolver "alcance mútuo" entre dois centros com raios diferentes, o critério de match é a distância ≤ ao menor dos dois raios — nunca ao maior, e nunca apenas ao raio de referência do enunciado principal.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro o raio mais restritivo entre os pares (aqui, 2 km com R) e teste-o em todos os candidatos antes de calcular tudo — isso elimina rapidamente as alternativas incorretas com poucas contas.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de geometria analítica sobre circunferências (posição relativa de ponto e circunferência) e em problemas de otimização com restrições simultâneas (sistemas de inequações).