Questão 171 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Combinações e Princípio Fundamental da Contagem)
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige enxergar que "colorir os vagões" é uma partição de um conjunto fixo em subgrupos de tamanhos diferentes, e não um simples arranjo ou soma de possibilidades.
• 🎯 Tema/Habilidade: Combinações sucessivas (coeficiente multinomial) — Competência de área 7: resolver situações-problema envolvendo princípios de contagem.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas formas diferentes é possível distribuir as cores vermelha (4), azul (3), verde (3) e amarela (2) entre os 12 vagões numerados e fixos do trem, expressando o resultado como um produto de combinações?"
• Palavras-chave decisivas: numerados de 1 a 12, ordenados crescentemente, expressa por meio de combinações
• Armadilha típica: tratar o problema como arranjo (como se a ordem dos vagões dentro de cada cor importasse) ou como uma soma de possibilidades independentes, em vez de um produto de escolhas simultâneas.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato reconhece a alocação de cores a posições fixas como uma sequência de combinações com população decrescente, unidas pelo princípio multiplicativo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem: quando uma escolha se desdobra em etapas sucessivas, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa.
• Combinação simples C(n,p) = n!/[p!(n-p)!]: conta de quantas formas se escolhe um subconjunto de p elementos entre n, sem considerar a ordem — ideal para decidir "quais posições" recebem uma cor.
• Coeficiente multinomial: generalização da combinação para repartir um conjunto de n elementos em k grupos de tamanhos fixos n₁, n₂, ..., nₖ; equivale a n!/(n₁!·n₂!·...·nₖ!), que pode ser calculado como um produto de combinações sucessivas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12" → as posições já são fixas e distinguíveis pela numeração; o único grau de liberdade é qual cor ocupa cada posição.
• Evidência 2: "4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela" → define quatro grupos de tamanhos 4, 3, 3 e 2, que somam exatamente 12, cobrindo todos os vagões sem sobra e sem repetição.
• Evidência 3 (figura): a imagem mostra a locomotiva seguida dos vagões numerados sequencialmente de 1 a 12 em fila única, confirmando visualmente que "montar o trem" é apenas decidir a cor de cada posição numerada — não há reordenação dos vagões em si.
• Síntese: o problema equivale a particionar o conjunto {1, 2, ..., 12} em quatro subconjuntos de tamanhos 4, 3, 3 e 2 (um para cada cor). Isso se resolve escolhendo sucessivamente, a cada etapa, quais posições restantes formarão o próximo grupo colorido — exatamente o que um produto de combinações representa.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando a montagem como escolha sucessiva de posições

A locomotiva é sempre preta e fixa na frente; o que varia entre um trem e outro é apenas a cor de cada uma das 12 posições numeradas. Como os vagões de mesma cor são idênticos entre si, a ordem interna de cada grupo não importa — o que importa é quais números recebem cada cor. Isso é, por definição, um problema de combinação.

Subpasso 4.2 — Aplicando o princípio multiplicativo em cascata

Decidindo as cores em etapas, sempre sobre as posições ainda livres:

• Vermelho: escolher 4 entre as 12 posições → C₁₂⁴.
• Azul: das 12 − 4 = 8 restantes, escolher 3 → C₈³.
• Verde: das 8 − 3 = 5 restantes, escolher 3 → C₅³.
• Amarelo: das 5 − 3 = 2 restantes, escolher as 2 que sobraram → C₂² = 1.

Como cada etapa só depende de quantas posições restam (a escolha anterior apenas reduz a população disponível), o total é o produto das combinações sucessivas: Total = C₁₂⁴ × C₈³ × C₅³ × C₂²

Subpasso 4.3 — Verificação numérica

C₁₂⁴ = 495; C₈³ = 56; C₅³ = 10; C₂² = 1. Total = 495 × 56 × 10 × 1 = 277.200 trens distintos.

Conferindo pelo coeficiente multinomial direto: 12!/(4!·3!·3!·2!) = 479.001.600/1.728 = 277.200 — mesmo valor, confirmando a estratégia. A expressão correspondente entre as alternativas é C₁₂⁴ × C₈³ × C₅³ × C₂².

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) C₁₂⁴ × C₁₂³ × C₁₂³ × C₁₂²

❌ Incorreta: repete "12" em todas as etapas, como se as posições já usadas para uma cor continuassem livres para as seguintes — permitiria, matematicamente, que um mesmo vagão recebesse duas cores. A população precisa decrescer a cada escolha (12→8→5→2).

B) C₁₂⁴ + C₈³ + C₅³ + C₂²

❌ Incorreta: troca o produto (evento simultâneo) pela soma (evento alternativo), como se bastasse uma única escolha para formar o trem. As quatro colorações ocorrem ao mesmo tempo, devendo ser multiplicadas — a soma dá apenas 562, muito abaixo do total real.

C) C₁₂⁴ × 2 × C₈³ × C₅²

❌ Incorreta: insere um fator "2" sem justificativa combinatória e troca C₅³ por C₅², como se o grupo verde tivesse 2 vagões em vez dos 3 informados no enunciado.

D) C₁₂⁴ + 2×C₁₂³ + C₁₂²

❌ Incorreta: soma em vez de multiplicar, mantém "12" fixo em todos os termos e funde azul e verde num único "2×C₁₂³", ignorando que são grupos distintos calculados sobre populações decrescentes (8 e depois 5).

E) C₁₂⁴ × C₈³ × C₅³ × C₂²

✅ Correta: reproduz a sequência de escolhas sucessivas — 12 posições para o vermelho, 8 restantes para o azul, 5 restantes para o verde, 2 restantes para o amarelo — multiplicadas pelo princípio fundamental da contagem, resultando no coeficiente multinomial que conta as 277.200 colorações possíveis.

🏆 Gabarito: E — é a única alternativa que respeita simultaneamente a operação de produto (as quatro cores são definidas ao mesmo tempo, em conjunto) e o decréscimo correto da população de vagões disponíveis a cada etapa (12 → 8 → 5 → 2), compatível com os tamanhos reais dos grupos de cor (4, 3, 3 e 2).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única expressão que aplica combinações sobre populações que diminuem corretamente a cada escolha de cor, respeitando os tamanhos exatos de cada grupo (4, 3, 3, 2) informados no enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma disfarçar o "coeficiente multinomial" (partição de um conjunto em subgrupos de tamanhos fixos) em contextos como sorteio de cores, formação de comissões com cargos diferentes, distribuição de prêmios ou tarefas — sempre pedindo a expressão, e não só o número final.
• Generalização: sempre que n elementos distintos precisam ser divididos em k grupos de tamanhos fixos n₁, n₂, ..., nₖ (com n₁+n₂+...+nₖ = n), o total de formas é Cₙ^(n₁) × C₍n−n₁₎^(n₂) × ... × Cₙₖ^(nₖ), equivalente a n!/(n₁!·n₂!·...·nₖ!).
• Dica de eliminação rápida: verifique se os "números de cima" das combinações decrescem corretamente subtraindo o que já foi escolhido (12, 8, 5, 2) — isso já elimina A de cara; depois confira se a operação entre os termos é multiplicação e não soma, o que elimina B e D; por fim, confira se os expoentes batem com as quantidades do enunciado (4, 3, 3, 2), o que elimina C.
• Conexões: permutação com elementos repetidos (mesmo resultado, calculado como n!/(n₁!·...·nₖ!)); problemas de divisão de um baralho ou grupo em subconjuntos de tamanhos diferentes; princípio fundamental da contagem aplicado a eventos simultâneos.