Questão 142 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área do círculo)
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo em si é simples, mas exige perceber que a "área a pavimentar" é a diferença entre dois círculos, não a área do círculo maior inteiro.
• 🎯 Tema/Habilidade: Área do círculo com valor aproximado de π; resolução de problema contextualizado envolvendo grandezas geométricas.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a área da faixa que será pavimentada além do círculo já existente e diga se os 100 m² em estoque bastam para cobri-la."
• Palavras-chave decisivas: aumentando em 8 m o diâmetro, mantendo o revestimento da parte já existente, nova região a ser pavimentada
• Armadilha típica: calcular a área do círculo novo inteiro (147 m²) e compará-la direto com o estoque, esquecendo que a parte central de 27 m² já está pronta e não precisa de material novo.
• O que a resposta precisa demonstrar: que a área a pavimentar é a diferença entre a área do círculo ampliado e a área do círculo original, seguida da comparação numérica correta com os 100 m² disponíveis.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do círculo: A = π·r², onde r é o raio. O enunciado manda usar π ≈ 3, então A = 3·r², um artifício comum do ENEM para simplificar as contas sem calculadora.
• Diâmetro × raio: o diâmetro é sempre o dobro do raio (d = 2r). Trocar um pelo outro é a fonte de erro mais comum nesse tipo de questão — e é exatamente o que os distratores exploram.
• Diferença de áreas concêntricas: quando uma figura cresce mantendo a região interna intacta, a área "nova" (a que falta revestir) é a área total da figura maior menos a área da figura menor, e não a área da figura maior sozinha.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6m" → define o círculo original: diâmetro = 6 m, logo raio = 3 m.
• Evidência 2: "aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região" → o acréscimo é sobre o diâmetro (não sobre o raio), e o valor 8 se soma ao diâmetro original de 6 m, resultando em 14 m.
• Evidência 3: "mantendo o revestimento da parte já existente" → confirma que o círculo de 6 m de diâmetro continua pavimentado; o material novo só cobre o anel adicional.
• Síntese: a área a pavimentar = (área do círculo com diâmetro 14 m) − (área do círculo com diâmetro 6 m). Basta calcular as duas áreas e subtrair.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área do círculo original

Diâmetro original = 6 m → raio r₁ = 6 ÷ 2 = 3 m.

A₁ = π · r₁² = 3 · 3² = 3 · 9 = 27 m²

Subpasso 4.2 — Área do círculo ampliado

Novo diâmetro = diâmetro original + acréscimo = 6 + 8 = 14 m → raio r₂ = 14 ÷ 2 = 7 m.

A₂ = π · r₂² = 3 · 7² = 3 · 49 = 147 m²

Subpasso 4.3 — Área da nova região a pavimentar e verificação

A região que falta revestir é o anel entre os dois círculos:

A_nova = A₂ − A₁ = 147 − 27 = 120 m²

Comparando com o estoque: 100 m² (disponível) < 120 m² (necessário). Logo, o material não é suficiente — faltam 20 m² de revestimento. O valor 120 m² aparece exatamente na alternativa E, confirmando o resultado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m².

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro de leitura do enunciado — tratar o "aumento de 8 m no diâmetro" como se o novo diâmetro fosse 8 m (e não 6 + 8 = 14 m). Com essa leitura errada, a área do círculo "novo" seria 3·4² = 48 m², e a diferença com os 27 m² originais daria 21 m². O erro está em não somar o acréscimo ao diâmetro original.

B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².

❌ Incorreta: 24 m² é obtido quando se aplica indevidamente uma relação linear entre diâmetro e área (como se a área fosse proporcional apenas ao diâmetro, e não ao quadrado do raio). Esse tipo de erro conceitual ignora que a área do círculo depende de r² e não cresce na mesma proporção do diâmetro.

C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².

❌ Incorreta: 48 m² é a área de um círculo cujo diâmetro seria igual apenas ao acréscimo (8 m, raio 4 m: 3·4² = 48). Esse erro trata o "aumento do diâmetro" como se ele próprio formasse um círculo isolado, sem subtrair a área já existente nem reconhecer que a nova região é um anel, não um círculo completo.

D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².

❌ Incorreta: embora a conclusão sobre a insuficiência do material esteja certa, o valor numérico está errado — 108 m² não corresponde à diferença correta entre as áreas. Esse resultado costuma vir de trocar diâmetro por raio em algum momento da conta (por exemplo, usar 6 m diretamente como raio em vez de dividi-lo por 2), o que distorce o valor final mesmo mantendo a estrutura geral do raciocínio correta.

E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².

✅ Correta: a área do círculo ampliado (147 m²) menos a área do círculo original (27 m²) resulta exatamente em 120 m². Como 120 m² > 100 m² disponíveis em estoque, o material não é suficiente — essa é a única alternativa que combina corretamente o valor numérico exato com a conclusão lógica coerente.

🏆 Gabarito: E — a área da nova região a pavimentar é 147 − 27 = 120 m², valor maior que os 100 m² em estoque, portanto o material disponível não é suficiente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E apresenta simultaneamente o valor numérico correto (120 m²) e a conclusão lógica compatível com ele (insuficiência do estoque de 100 m²); as demais erram no cálculo, na conclusão, ou nos dois.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esse tipo de "pegadinha geométrica" — apresentar uma figura que aumenta de tamanho mantendo uma parte fixa, forçando o candidato a calcular uma diferença de áreas em vez da área total. Aparece com frequência em contextos de piscinas, jardins, tapetes e pátios circulares ou quadrados.
• Generalização: sempre que um enunciado disser "mantendo a parte já existente" ou "aumentando apenas uma região", desconfie: a resposta quase certamente exige subtrair a área menor da área maior, e não usar a área maior isolada.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a área total do círculo ampliado (aqui, 147 m²) — se nenhuma alternativa apresentar esse valor bruto, é sinal de que a questão pede a diferença de áreas. Em seguida, verifique com cuidado se o "acréscimo" do problema se soma ao diâmetro ou ao raio antes de elevar ao quadrado: essa troca é a armadilha mais comum entre os distratores.
• Conexões: essa questão se conecta diretamente com problemas de "área de coroa circular" (anel entre dois círculos concêntricos) e com exercícios de proporcionalidade entre área e quadrado das dimensões lineares (escala de figuras semelhantes).