Questão 151 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão, proporção e porcentagem em problema de sociedade empresarial
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples; a dificuldade é organizar o investimento de cada sócio em duas rodadas com participantes diferentes
• 🎯 Tema/Habilidade: Divisão proporcional de valores (regra de sociedade) — grandezas diretamente proporcionais e conversão de razão em porcentagem
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual porcentagem do total de R$ 1.800.000,00 cabe a cada sócio inicial e ao quarto sócio, considerando tudo o que cada um investiu?"
• Palavras-chave decisivas: um terço, um quarto, proporcional à quantia total investida
• Armadilha típica: esquecer que os três sócios iniciais participaram das duas rodadas de aporte, enquanto o quarto só entrou na segunda; ou dividir tudo igualmente entre os quatro, como se todos tivessem participado desde o início.
• O que a resposta precisa demonstrar: somar, sócio a sócio, as parcelas de cada rodada e só então converter o total em porcentagem do valor final da venda.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Divisão proporcional (regra de sociedade): a parcela de cada participante é (investimento individual ÷ investimento total) × valor a repartir.
• Fração de uma quantia: "um terço" e "um quarto" são frações (1/3 e 1/4) aplicadas ao valor de cada rodada — não ao total geral, que muda de composição entre rodadas.
• Porcentagem: a razão (investimento acumulado do sócio)/(investimento total) multiplicada por 100.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada um deles contribuiu com um terço do investimento inicial" → cada sócio inicial responde por 1.000.000 ÷ 3 = R$ 333.333,33 no primeiro aporte.
• Evidência 2: "os quatro, juntos, investiram mais R$ 800.000,00... Cada um deles contribuiu com um quarto desse valor" → agora são 4 sócios, cada um com 800.000 ÷ 4 = R$ 200.000,00.
• Evidência 3: "dividir... de modo proporcional à quantia total investida por cada sócio" → a base do rateio é o investimento acumulado, somando as rodadas em que cada um participou.
• Síntese: o quarto sócio só entra na segunda rodada (investimento total = R$ 200.000,00); cada sócio inicial acumula R$ 333.333,33 + R$ 200.000,00 = R$ 533.333,33.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Investimento total de cada sócio inicial

Rodada 1 (R$ 1.000.000,00 dividido por 3 sócios):

1.000.000 ÷ 3 ≈ 333.333,33

Rodada 2 (R$ 800.000,00 dividido por 4 sócios, incluindo o novo):

800.000 ÷ 4 = 200.000,00

Cada sócio inicial acumulou, ao todo:

333.333,33 + 200.000,00 = 533.333,33

Subpasso 4.2 — Investimento total do quarto sócio e cálculo das porcentagens

O quarto sócio só participou da rodada 2, logo seu investimento total é 200.000,00.

Conferência do total geral: 3 × 533.333,33 + 200.000,00 = 1.600.000,00 + 200.000,00 = 1.800.000,00 ✓ (bate exatamente com R$ 1.000.000,00 + R$ 800.000,00, e também com o valor da venda — não há lucro nem prejuízo, o que simplifica o rateio).

Agora, a porcentagem de cada sócio inicial sobre o total vendido:

533.333,33 ÷ 1.800.000,00 = 0,296296... ≈ 29,63%

E a porcentagem do quarto sócio:

200.000,00 ÷ 1.800.000,00 = 0,111111... = 11,11%

Subpasso 4.3 — Verificação

O valor exato dos sócios iniciais (29,63%) não aparece igual em nenhuma alternativa — por isso o enunciado pede os "valores mais próximos". A) 29,60% difere em só 0,03 ponto percentual; B) 28,70% já difere em 0,93 ponto; as demais se afastam mais ainda. O valor do quarto sócio, 11,11%, bate exatamente com A.

Checagem extra: como há 3 sócios iniciais com a mesma fatia e 1 quarto sócio com outra, 3 × (parcela do inicial) + (parcela do quarto) deve somar ≈ 100%. Para A: 3 × 29,60 + 11,11 = 99,91% ≈ 100% ✓, confirmando a alternativa.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 29,60 e 11,11.

✅ Correta: são os valores mais próximos dos percentuais exatos calculados (29,63% e 11,11%), obtidos ao somar corretamente as duas rodadas de investimento para os sócios iniciais e considerar apenas a segunda rodada para o quarto sócio.

B) 28,70 e 13,89.

❌ Incorreta: erro de sequência temporal — trata o quarto sócio como se já tivesse participado do primeiro aporte, recebendo 1.000.000 ÷ 4 = 250.000,00 (250.000 ÷ 1.800.000 = 13,89%), e divide o restante (1.800.000 − 250.000 = 1.550.000) igualmente entre os três sócios originais (1.550.000 ÷ 3 = 516.666,67 → 28,70%). Contraria o enunciado, que diz que o quarto sócio entrou "algum tempo depois".

C) 25,00 e 25,00.

❌ Incorreta: ignora a diferença temporal entre as rodadas, tratando os dois aportes como se sempre tivessem sido divididos igualmente entre os quatro sócios desde o início: (1.000.000 + 800.000) ÷ 4 = 450.000,00 cada (25%). Apaga a informação central do problema — o primeiro aporte era rateado só entre três pessoas.

D) 18,52 e 11,11.

❌ Incorreta: o valor do quarto sócio está certo (200.000 ÷ 1.800.000 = 11,11%), mas o dos sócios iniciais está incompleto — usa só a fração da primeira rodada (333.333,33 ÷ 1.800.000 = 18,52%) e esquece de somar os R$ 200.000,00 que cada um também investiu na segunda rodada. É o erro mais sutil, pois mistura um valor certo com um incompleto.

E) 12,96 e 13,89.

❌ Incorreta: 13,89% repete o erro de sequência de B (tratar o quarto sócio como dono de 1/4 do aporte inicial). O par também falha no teste de consistência: 3 × 12,96 + 13,89 = 52,77%, longe dos ≈100% esperados — prova de que não decorre de um raciocínio proporcional válido.

🏆 Gabarito: A — os valores 29,60% (sócios iniciais) e 11,11% (quarto sócio) são os que mais se aproximam dos percentuais exatos obtidos ao somar corretamente o investimento de cada sócio em cada rodada de aporte e dividi-lo pelo valor total da venda.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é a única alternativa em que os dois valores refletem fielmente o investimento acumulado de cada grupo de sócios ao longo das duas rodadas de aporte, sendo também os mais próximos dos percentuais exatos (29,63% e 11,11%).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar "regra de sociedade" e divisão proporcional em contextos de aportes de capital feitos em momentos diferentes, exigindo que o candidato separe cada rodada de investimento antes de somar os totais individuais.
• Generalização: sempre que um problema envolver sócios entrando em momentos distintos, calcule a contribuição de cada participante rodada por rodada — nunca aplique a fração de uma rodada ao valor total acumulado, e nunca presuma que todos participaram desde o início.
• Dica de eliminação rápida: multiplique a porcentagem de cada sócio inicial por 3 e some à porcentagem do quarto sócio; o resultado deve ficar próximo de 100%. Isso elimina de imediato D (66,67%) e E (52,77%), restando apenas A, B e C para uma verificação mais fina — que confirma A como a única coerente com o enunciado.
• Conexões: o mesmo raciocínio de divisão proporcional aparece em problemas de rateio de herança, divisão de lucros entre sócios com aportes desiguais e regra de três composta.