Questão 150 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Matemática Financeira (juros compostos, valor presente de um fluxo de caixa)
• ⚡ Nível: Médio — não basta aplicar uma fórmula única: é preciso descontar duas parcelas de valores e prazos diferentes e depois somá-las corretamente
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo do valor presente (valor à vista) de um financiamento parcelado sob juros compostos — resolução de situações-problema envolvendo capitalização/desconto composto
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o valor à vista do produto, sabendo que ele foi pago em duas parcelas desiguais, vencendo em meses consecutivos, sob juros compostos de 1% ao mês?"
• Palavras-chave decisivas: juros compostos de 1% ao mês, primeiro pagamento um mês após, segundo pagamento um mês após o primeiro
• Armadilha típica: somar as duas parcelas diretamente (R$ 202,00 + R$ 204,02) como se dinheiro futuro valesse o mesmo que dinheiro hoje, ou descontar as duas parcelas pelo mesmo número de meses
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de trazer cada parcela, individualmente, até a "data zero" (data da compra), respeitando o prazo específico de cada uma antes de somá-las

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Valor presente sob juros compostos: VP = VF ÷ (1 + i)ⁿ, em que VF é a parcela, i é a taxa por período e n é o número de períodos até o vencimento
• Fluxo de caixa com datas distintas: cada parcela deve ser descontada pelo número de meses que a separa da data da compra — não existe um "n único" para todas
• Equivalência de capitais: o valor à vista do bem é a soma dos valores presentes de todos os pagamentos futuros do financiamento

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "taxa de juros compostos de 1% ao mês" → i = 0,01, capitalização composta (não simples)
• Evidência 2: "o primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00" → parcela 1 vence em n = 1 mês
• Evidência 3: "o segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro... valor de R$ 204,02" → parcela 2 vence dois meses após a compra, ou seja, n = 2
• Síntese: o problema fornece duas parcelas com prazos diferentes (1 e 2 meses) sobre a mesma taxa de 1% a.m. A tarefa é trazer cada uma a valor presente com VP = VF ÷ (1,01)ⁿ e somar os dois resultados — essa soma é o valor a constar na nota fiscal.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Valor presente da primeira parcela (n = 1)

VP₁ = 202 ÷ (1,01)¹ = 202 ÷ 1,01

Como 200 × 1,01 = 202, temos VP₁ = R$ 200,00.

Subpasso 4.2 — Valor presente da segunda parcela (n = 2)

VP₂ = 204,02 ÷ (1,01)² = 204,02 ÷ 1,0201

Verificando: 200 × 1,0201 = 200 + 200×0,02 + 200×0,0001 = 200 + 4 + 0,02 = 204,02.

Logo, VP₂ = R$ 200,00.

Subpasso 4.3 — Verificação e soma

Valor à vista = VP₁ + VP₂ = 200,00 + 200,00 = R$ 400,00.

Confirmação por capitalização direta: 200 × 1,01 = 202,00 (bate com a parcela 1) e 202 × 1,01 = 204,02 (bate com a parcela 2). O sistema fecha perfeitamente: a loja simplesmente dividiu o preço à vista (R$ 400,00) em duas metades de R$ 200,00 e projetou cada metade no tempo, a 1% a.m., até o respectivo vencimento. Esse valor está entre as alternativas — corresponde à opção B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 398,02

❌ Incorreta: esse valor surge se o aluno descontar as duas parcelas por n = 2, tratando erradamente a primeira parcela como se também vencesse junto com a segunda: 202 ÷ 1,0201 + 204,02 ÷ 1,0201 = 198,02 + 200,00 = 398,02. O erro conceitual é ignorar que a primeira parcela tem prazo próprio (n = 1), diferente do da segunda (n = 2).

B) 400,00

✅ Correta: é a soma dos valores presentes de cada parcela descontada pelo seu prazo correto — VP₁ (n = 1) + VP₂ (n = 2) = 200,00 + 200,00 = R$ 400,00, exatamente como demonstrado no Passo 4.

C) 401,94

❌ Incorreta: valor próximo do correto, mas que não resiste à exigência de exatidão ao centavo do cálculo VP = VF ÷ (1+i)ⁿ aplicado a cada parcela. Costuma surgir ao misturar critérios de desconto (juros simples numa parcela e composto na outra) ou ao arredondar prematuramente as potências de 1,01 — em juros compostos, aproximações "de cabeça" não reproduzem o resultado exato.

D) 404,00

❌ Incorreta: obtida ao descontar corretamente só a segunda parcela (204,02 ÷ 1,01 = 202,00), mas mantendo a primeira pelo valor nominal, sem trazê-la a valor presente: 202,00 + 202,00 = 404,00. O erro é tratar a parcela 1 como se já estivesse na data da compra, quando ela também precisa ser descontada por um mês.

E) 406,02

❌ Incorreta: é a soma pura das duas parcelas nominais (202,00 + 204,02 = 406,02), ignorando totalmente o desconto por juros compostos — equivale a afirmar que R$ 1,00 recebido daqui a um ou dois meses vale o mesmo que R$ 1,00 hoje, o que contraria a própria essência da matemática financeira.

🏆 Gabarito: B — R$ 400,00 é o único valor que, projetado com juros compostos de 1% ao mês pelos prazos corretos de cada parcela (1 e 2 meses), reproduz exatamente os R$ 202,00 e R$ 204,02 informados no enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa compatível com o desconto individual de cada parcela pelo seu próprio prazo (n = 1 e n = 2); qualquer outro caminho quebra a equivalência de capitais.
• Padrão de cobrança: matemática financeira aparece com forte regularidade no ENEM, quase sempre em financiamento, parcelamento de compras ou aplicações — a pegadinha recorrente é o número de períodos usado no desconto de cada parcela.
• Generalização: para achar o valor à vista de um financiamento com várias parcelas, desconte CADA uma pelo número de meses até o seu vencimento (VP = VF ÷ (1+i)ⁿ) e só depois some os valores presentes — nunca some os nominais nem use o mesmo n para vencimentos diferentes.
• Dica de eliminação rápida: descarte logo a soma nominal das parcelas (406,02) — ignora os juros; desconfie também de valores muito próximos do correto sem cálculo exato por trás (como 401,94).
• Conexões: mesmo raciocínio em financiamentos de veículos e imóveis (Sistema Price) e no cálculo de valor presente líquido (VPL).