Questão 145 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e proporção (grandezas inversamente proporcionais em sistemas de transmissão mecânica)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na conta, e sim em traduzir corretamente a mecânica corrente-catraca em uma relação de proporcionalidade.
• 🎯 Tema/Habilidade: Grandezas inversamente proporcionais aplicadas a um contexto tecnológico (resolução de problemas com proporcionalidade em situações do cotidiano)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual deve ser o diâmetro da nova catraca para que, a cada volta completa dos pedais, a bicicleta avance 50% a mais do que avança com a catraca de 7 cm?"
• Palavras-chave decisivas: 50% a mais, volta completa dos pedais, diâmetro da catraca
• Armadilha típica: supor, por intuição, que "avançar mais" exige uma catraca maior. É o contrário: quanto menor a catraca, mais voltas ela dá para cada volta da coroa, e mais a roda (e a bicicleta) avança.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar que o avanço por pedalada é inversamente proporcional ao diâmetro da catraca e aplicar essa proporção corretamente, sem inverter o sentido do "50% a mais".

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema coroa–corrente–catraca: a coroa (presa aos pedais) puxa a corrente, que gira a catraca (presa à roda traseira). A corrente é inextensível: o comprimento que sai da coroa é exatamente o comprimento que entra na catraca.
• Relação diâmetro × número de voltas: para dois discos conectados pela mesma corrente, o produto entre o diâmetro do disco e o número de voltas que ele dá é constante, pois ambos "consomem" o mesmo comprimento de corrente por unidade de tempo.
• Proporcionalidade inversa: se o avanço da bicicleta por pedalada é inversamente proporcional ao diâmetro da catraca, então (avanço) × (diâmetro da catraca) = constante, para a mesma coroa e a mesma roda.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "à medida em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais... a cada volta completa dos pedais" → a comparação é feita para uma mesma volta da coroa (mesmo pedal, mesma bicicleta); só a catraca muda.
• Evidência 2: "o ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro" → esse é o valor de referência, D₁ = 7 cm, associado ao avanço "base" (100%).
• Síntese: como a coroa e a roda traseira não mudam, o avanço por pedalada depende exclusivamente do diâmetro da catraca escolhida, e essa dependência é inversa — é essa relação que permite montar a equação do problema.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a mecânica em uma fórmula

Numa volta completa dos pedais, a coroa gira uma volta e "empurra" um comprimento de corrente igual à sua circunferência: C_coroa = π × D_coroa. Esse mesmo comprimento de corrente passa pela catraca e a faz girar. O número de voltas da catraca é:

n_catraca = C_coroa ÷ C_catraca = (π × D_coroa) ÷ (π × D_catraca) = D_coroa ÷ D_catraca

Como a catraca está presa ao eixo da roda traseira, a roda gira o mesmo número de voltas n_catraca, e o avanço da bicicleta é:

avanço = n_catraca × C_roda = (D_coroa ÷ D_catraca) × C_roda = (D_coroa × C_roda) ÷ D_catraca

Como D_coroa e C_roda são os mesmos nos dois cenários (mesma bicicleta), chamando k = D_coroa × C_roda (constante):

avanço = k ÷ D_catraca

Ou seja: avanço e diâmetro da catraca são inversamente proporcionais.

Subpasso 4.2 — Montar e resolver a equação dos 50% a mais

Sejam avanço₁ (com D₁ = 7 cm) e avanço₂ (com a nova catraca, D₂). O enunciado exige:

avanço₂ = avanço₁ + 50% de avanço₁ = 1,5 × avanço₁

Substituindo avanço = k ÷ D:

k ÷ D₂ = 1,5 × (k ÷ D₁)

1 ÷ D₂ = 1,5 ÷ D₁

D₂ = D₁ ÷ 1,5 = 7 ÷ 1,5

D₂ = 4,666... cm ≈ 4,7 cm

Subpasso 4.3 — Verificação

O resultado faz sentido físico: D₂ ≈ 4,7 cm é menor que D₁ = 7 cm, coerente com "catraca menor → mais avanço por pedalada". Conferindo a razão dos avanços: avanço₂ ÷ avanço₁ = D₁ ÷ D₂ = 7 ÷ 4,7 ≈ 1,489 ≈ 1,5 — confirma exatamente os 50% a mais pedidos. O valor 4,7 cm corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2,3.

❌ Incorreta: esse valor não corresponde a D₁ ÷ 1,5; é próximo do que se obteria aplicando o fator de proporcionalidade de forma equivocada (por exemplo, dividindo por um fator maior que o necessário, como se o avanço dependesse do quadrado do diâmetro). Não decorre da relação linear inversa correta.

B) 3,5.

❌ Incorreta: é exatamente a metade de 7 cm (7 ÷ 2). Esse erro surge de interpretar "50% a mais" como "reduzir o diâmetro à metade", confundindo o fator 1,5 (que multiplica o avanço) com o fator 0,5 (aplicado diretamente, e de forma errada, ao diâmetro).

C) 4,7.

✅ Correta: é o resultado de D₂ = D₁ ÷ 1,5 = 7 ÷ 1,5 ≈ 4,67 cm, arredondado para uma casa decimal — exatamente a proporcionalidade inversa entre avanço e diâmetro da catraca, aplicada corretamente ao aumento de 50%.

D) 5,3.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma manipulação coerente da relação avanço = k ÷ D; é compatível com um erro de conta ao tentar isolar D₂ (por exemplo, calcular 7 × (1 − 1/3,5) ou outra combinação equivocada dos números do enunciado), sem respeitar a proporcionalidade inversa.

E) 10,5.

❌ Incorreta: é 7 × 1,5. Esse é o erro mais tentador: aplicar o "50% a mais" diretamente sobre o diâmetro (D₂ = 1,5 × D₁), como se diâmetro e avanço fossem diretamente proporcionais — mas a relação correta, mostrada no Passo 4, é inversa.

🏆 Gabarito: C — o diâmetro da nova catraca deve ser D₂ = D₁ ÷ 1,5 = 7 ÷ 1,5 ≈ 4,7 cm, pois o avanço da bicicleta por pedalada é inversamente proporcional ao diâmetro da catraca.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa compatível com avanço × diâmetro = constante; todas as demais nascem de tratar a proporção como direta ou de erros aritméticos ao isolar D₂.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma usar contextos mecânicos do cotidiano (bicicletas, engrenagens, polias, roldanas, correias) para cobrar proporcionalidade direta e inversa "disfarçada" de física aplicada — a matemática por trás é sempre razão e proporção.
• Generalização: sempre que duas peças giratórias estiverem conectadas por corrente, correia ou engrenagem, vale que diâmetro × número de voltas é constante; logo, diâmetro e distância percorrida por volta são inversamente proporcionais.
• Dica de eliminação rápida: pergunte "a grandeza pedida cresce ou diminui quando o diâmetro cresce?". Se diminui (como aqui), descarte de cara qualquer alternativa maior que o valor de referência (aqui, E = 10,5 cai fora) e qualquer alternativa que seja simplesmente a metade sem justificativa matemática (B = 3,5).
• Conexões: relação de transmissão em polias e engrenagens (Física), regra de três inversa e proporcionalidade em escalas de mapas e maquetes.