Questão 159 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (evento complementar) e Potenciação
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas a questão esconde uma pegadinha de interpretação que derruba quem não lê com atenção
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade de eventos independentes via complementar, resolvendo inequações exponenciais por tentativa de potências de 2 (competência de resolver situações-problema com raciocínio combinatório/probabilístico)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas placas novas (além da que já existe) precisam ser instaladas para que a chance de o motorista notar pelo menos uma placa supere 99%?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos uma, novas placas, superior a 99/100
• Armadilha típica: calcular corretamente o número total de placas necessárias (7) e marcar essa quantidade sem perceber que o restaurante já tinha uma placa instalada antes — a pergunta quer só as placas adicionais.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do evento complementar ("não perceber nenhuma") para transformar "pelo menos uma" em uma inequação exponencial, e atenção ao dado de que uma placa já estava em operação.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Evento complementar: quando calcular "pelo menos um sucesso" é trabalhoso, calcula-se o evento oposto ("nenhum sucesso") e faz-se P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). É sempre mais simples multiplicar probabilidades de fracasso do que somar todas as combinações de sucesso.
• Independência de eventos: cada motorista reage a cada placa sem que isso mude a chance de reagir às demais. Por isso as probabilidades de "não perceber" se multiplicam: P(não perceber nenhuma das n) = (1/2)ⁿ.
• Inequação exponencial por tentativa: sem tabela de logaritmos na prova, o caminho é testar potências de 2 diretamente até (1/2)ⁿ < 1/100 (equivalente a 2ⁿ > 100) ser satisfeita.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2" → define, para cada placa (seja a antiga, seja qualquer nova), a chance de sucesso 1/2 e, portanto, a chance de fracasso ("não perceber") também 1/2.
• Evidência 2: "ao colocar uma placa de propaganda... as vendas aumentaram" → revela que, antes de qualquer decisão nova, já existe 1 placa instalada na rodovia. Esse detalhe é a chave da pegadinha.
• Evidência 3: "decidiu instalar novas placas... de maneira que a probabilidade de perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100" → o alvo de 99/100 é sobre o conjunto total de placas (a antiga + as novas), não apenas sobre as novas isoladamente.
• Síntese: primeiro descubro quantas placas no total garantem P(pelo menos uma notada) > 99/100; depois subtraio a placa que já existia para responder exatamente o que foi perguntado — a quantidade de placas novas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando o evento complementar

Seja n o número total de placas na rodovia (a antiga somada às novas que serão instaladas). Para cada placa, a probabilidade de o motorista não perceber é:

P(não perceber uma placa) = 1 − 1/2 = 1/2

Como os motoristas reagem a cada placa de forma independente, a probabilidade de não perceber nenhuma das n placas é o produto das n probabilidades individuais:

P(não perceber nenhuma) = (1/2)ⁿ

O evento "perceber pelo menos uma placa" é o complementar de "não perceber nenhuma", logo:

P(perceber ≥ 1) = 1 − (1/2)ⁿ

Subpasso 4.2 — Montando e resolvendo a inequação

A condição do problema exige que essa probabilidade supere 99/100:

1 − (1/2)ⁿ > 99/100

Isolando a potência:

(1/2)ⁿ < 1 − 99/100

(1/2)ⁿ < 1/100

Isso equivale a 2ⁿ > 100 (basta inverter a fração, já que (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ). Como o enunciado não fornece tabela de logaritmos, o caminho é testar potências de 2 diretamente:

2⁶ = 64 → 1/64 ≈ 0,0156 (maior que 1/100 = 0,01 → não satisfaz)

2⁷ = 128 → 1/128 ≈ 0,0078 (menor que 1/100 = 0,01 → satisfaz!)

Portanto, o menor n inteiro que garante (1/2)ⁿ < 1/100 é n = 7. São necessárias 7 placas no total na rodovia para que a chance de o motorista notar pelo menos uma ultrapasse 99%.

Subpasso 4.3 — Verificação e ajuste pela placa já existente

Aqui entra a leitura cuidadosa do enunciado: dessas 7 placas, 1 já estava instalada desde o início (foi ela que fez as vendas aumentarem, conforme a primeira frase do texto). A pergunta pede apenas a quantidade de placas novas:

Placas novas = Total necessário − placas já existentes = 7 − 1 = 6

Conferindo: com 1 placa antiga + 6 novas = 7 placas, P(perceber ao menos uma) = 1 − 1/128 = 127/128 ≈ 0,992, que é de fato superior a 99/100 = 0,99. Com apenas 5 novas (total de 6 placas), teríamos 1 − 1/64 ≈ 0,984, que não ultrapassa 99/100. Logo, 6 é exatamente o mínimo de placas novas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 99

❌ Incorreta: leitura ingênua do número 99 em "99/100", como se a resposta devesse copiar o numerador da fração-alvo. Ignora que o crescimento da probabilidade com o número de placas é exponencial (via potências de 1/2), não uma correspondência direta com os termos da fração dada.

B) 51

❌ Incorreta: típica de quem monta o modelo de forma linear em vez de exponencial — supondo, por exemplo, que a chance de não perceber cai como 1/(2n) a cada placa adicionada, em vez de (1/2)ⁿ. Resolver 1/(2n) < 1/100 leva a n > 50, e arredondar para cima dá 51: um valor plausível, mas construído sobre um modelo matemático errado.

C) 50

❌ Incorreta: mesmo erro conceitual da alternativa B (decaimento linear em vez de exponencial), com arredondamento diferente no fechamento da conta. Não reflete a multiplicação de probabilidades independentes exigida pelo evento complementar.

D) 6

✅ Correta: são necessárias 7 placas ao todo para que (1/2)⁷ = 1/128 < 1/100, garantindo P(perceber pelo menos uma) > 99/100. Como 1 placa já estava instalada antes da decisão de expandir a propaganda, restam exatamente 6 placas novas — a resposta que o enunciado efetivamente pede.

E) 1

❌ Incorreta: confunde "perceber pelo menos uma placa" com "instalar pelo menos uma placa nova". Supõe que basta 1 placa a mais para "garantir" a condição, ignorando a exigência numérica de que a probabilidade ultrapasse 99/100 — o que só se cumpre com 7 placas no total.

🏆 Gabarito: D — são 7 placas ao todo (menor n com 2ⁿ > 100); descontando a 1 placa já existente, restam 6 novas placas a instalar, satisfazendo P(perceber ≥ 1) = 127/128 ≈ 99,2% > 99/100.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só n = 7 placas no total tornam (1/2)ⁿ menor que 1/100 (pois 2⁶ = 64 fica aquém de 100, e 2⁷ = 128 já ultrapassa); subtraindo a placa pré-existente, a resposta em placas novas é 7 − 1 = 6, exatamente a alternativa D.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa com frequência esse formato — pedir a probabilidade de pelo menos um sucesso em n tentativas independentes, o que quase sempre se resolve via evento complementar (1 − P(nenhum sucesso)).
• Generalização: sempre que o enunciado disser "probabilidade de pelo menos um..." em eventos repetidos e independentes, monte P(pelo menos um) = 1 − (probabilidade de falha)ⁿ e isole a potência; sem tabela de log, teste potências por tentativa até a desigualdade fechar.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que reproduzem literalmente números do enunciado (como "99", vindo de "99/100") — geralmente são armadilhas para quem tenta uma leitura proporcional em vez de montar a inequação. E sempre releia o texto em busca de elementos "já existentes" antes de fechar a conta, pois é comum a resposta exigir total menos algo que já estava dado.
• Conexões: o mesmo raciocínio de complementar aparece em "probabilidade de pelo menos um acerto em várias tentativas" (dados, moedas) e em confiabilidade de sistemas com componentes redundantes independentes.