Questão 147 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de figuras compostas: retângulo + semicírculo)
• ⚡ Nível: Médio — exige decompor corretamente a figura da placa e não confundir raio com diâmetro na hora de aplicar as fórmulas
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de área de figuras planas compostas (H24/H25 da matriz do ENEM — resolver situação-problema que envolva medidas de área)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a área de uma placa formada por um retângulo com topo semicircular e multiplique por dez."
• Palavras-chave decisivas: tangencia lados do retângulo, comprimento total h = 60 cm, dez placas
• Armadilha típica: confundir o diâmetro d com o raio ao calcular a área da parte curva, ou usar a altura h = 60 cm inteira para o retângulo sem descontar o raio ocupado pelo semicírculo
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de decompor a placa em duas figuras simples (retângulo + semicírculo), identificar corretamente quais medidas pertencem a cada parte e somar as áreas parciais antes de multiplicar pelas dez unidades

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do retângulo: A = base × altura. Aqui a base é o próprio diâmetro do círculo (d = 40 cm), pois a placa tem a mesma largura da circunferência.
• Área do círculo e do semicírculo: A_círculo = π·r², logo A_semicírculo = (π·r²)/2. É essencial usar o raio (metade do diâmetro) e não o diâmetro na fórmula.
• Tangência de circunferência a lados de retângulo: quando a circunferência tangencia os dois lados verticais do retângulo, seu diâmetro é igual à largura desse retângulo — é isso que conecta d = 40 cm à base da placa.
• Decomposição de figuras compostas: toda figura "não padrão" (como o contorno da placa) deve ser fatiada em formas geométricas conhecidas cujas áreas se somam para reconstituir a área total.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um retângulo" → o círculo toca as duas laterais do retângulo, logo a largura do retângulo é d = 40 cm.
• Evidência 2: "o comprimento total da placa é h = 60 cm" → h não é a altura do retângulo sozinho, é a altura da placa inteira, do topo do semicírculo até a base do retângulo.
• Evidência 3 (da figura): a imagem mostra que só a metade superior do círculo aparece acima do retângulo — a placa tem formato de "escudo" (retângulo com topo arredondado), igual ao sinal R-6a "Proibido Estacionar".
• Síntese: a placa = retângulo de largura d = 40 cm encimado por um semicírculo de raio r = 20 cm. Como o semicírculo ocupa r = 20 cm da altura total, a altura do retângulo é h − r = 60 − 20 = 40 cm.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as medidas de cada parte da figura

O diâmetro do círculo é d = 40 cm, então o raio é:

r = d/2 = 40/2 = 20 cm

A altura total da placa é h = 60 cm, e essa altura é composta pela altura do retângulo mais o raio do semicírculo que se projeta acima dele:

altura do retângulo = h − r = 60 − 20 = 40 cm

A largura do retângulo é igual ao diâmetro do círculo (tangência lateral):

largura do retângulo = d = 40 cm

Subpasso 4.2 — Calcular a área de uma placa

Área do retângulo:

A_ret = largura × altura = 40 × 40 = 1 600 cm²

Área do semicírculo (usando π ≈ 3,14 e r = 20 cm):

A_semi = (π × r²)/2 = (3,14 × 20²)/2 = (3,14 × 400)/2 = 1 256/2 = 628 cm²

Área total de uma placa:

A_placa = A_ret + A_semi = 1 600 + 628 = 2 228 cm²

Subpasso 4.3 — Verificação: multiplicar pelas dez placas

A_total = 10 × A_placa = 10 × 2 228 = 22 280 cm²

Esse valor bate exatamente com a alternativa B, o que confirma que a decomposição (retângulo de altura h − r somado ao semicírculo de raio r, usando corretamente r e não d na fórmula da área circular) foi feita de forma consistente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 16 628

❌ Incorreta: soma o comprimento do arco do semicírculo (π·r = 3,14 × 20 = 62,8 cm, uma medida de perímetro) à área do retângulo, em vez da área do semicírculo (628 cm²): 1 600 + 62,8 = 1 662,8 cm² por placa, ×10 = 16 628 cm² — erro clássico de trocar área por comprimento.

B) 22 280

✅ Correta: 10 × (retângulo 40 × 40 = 1 600 cm² + semicírculo (3,14 × 20²)/2 = 628 cm²) = 10 × 2 228 = 22 280 cm², exatamente como no Passo 4.

C) 28 560

❌ Incorreta: usa a área do círculo completo (π·r² = 3,14 × 400 = 1 256 cm²) em vez do semicírculo, somada ao retângulo correto (1 600 cm²): 1 600 + 1 256 = 2 856 cm², ×10 = 28 560 cm². Erro: esquecer que só metade do círculo forma a placa.

D) 41 120

❌ Incorreta: mantém a altura do retângulo correta (h − r = 40 cm, área 1 600 cm²), mas calcula a parte curva usando o diâmetro no lugar do raio: (π·d²)/2 = (3,14 × 1 600)/2 = 2 512 cm². Soma: 1 600 + 2 512 = 4 112 cm², ×10 = 41 120 cm². Erro típico de esquecer de dividir o diâmetro por 2 antes de elevar ao quadrado.

E) 66 240

❌ Incorreta: repete o erro de trocar raio por diâmetro, agora no círculo completo: π·d² = 3,14 × 1 600 = 5 024 cm², somado ao retângulo correto (1 600 cm²): 1 600 + 5 024 = 6 624 cm², ×10 = 66 240 cm². Acumula dois erros — diâmetro como raio e círculo inteiro em vez de semicírculo.

🏆 Gabarito: B — a área de cada placa é a soma de um retângulo de 40 cm × 40 cm (1 600 cm²) com um semicírculo de raio 20 cm (628 cm²), totalizando 2 228 cm² por placa e 22 280 cm² para as dez placas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa B usa o raio correto (metade do diâmetro) na fórmula circular e reconhece que apenas o semicírculo compõe a placa, descontando corretamente o raio da altura total para achar a altura do retângulo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência áreas de figuras "do mundo real" (placas, piscinas, terrenos) que precisam ser decompostas em formas básicas — círculos, semicírculos, retângulos e triângulos combinados.
• Generalização: ao combinar retas com arcos, separe mentalmente as partes retas das curvas e verifique se cada medida do enunciado (diâmetro, raio, altura total) pertence à parte reta, à curva, ou a ambas — como h, que engloba as duas aqui.
• Dica de eliminação rápida: ao ver "diâmetro d", escreva logo r = d/2 antes de qualquer conta — isso elimina de cara alternativas com d² no lugar de r² (D e E). Depois pergunte "é círculo inteiro ou metade?" para eliminar quem usa o círculo completo por engano (C).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em áreas de piscinas com bordas arredondadas, pistas de atletismo (retângulo + duas semicircunferências) e cálculo de material para pintura de superfícies compostas.