Questão 156 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (formação de agrupamentos com restrição)
• ⚡ Nível: Difícil — exige contar partições não ordenadas em pares (não é uma combinação simples) e ainda aplicar uma restrição por exclusão.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de agrupamentos (duplas) com condição de exclusão — raciocínio combinatório aplicado a situações do cotidiano (competência de resolução de problemas via Princípio Fundamental da Contagem).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas formas 8 pessoas podem ser divididas em 4 duplas, sabendo que os 2 canhotos não podem cair na mesma dupla?"
• Palavras-chave decisivas: quatro duplas, nenhuma dupla... dois... canhotos, de quantas maneiras
• Armadilha típica: calcular apenas o total de divisões em duplas (105) e esquecer de excluir os casos em que os dois canhotos ficam juntos — isso leva direto à alternativa errada E. Outra armadilha é tratar as duplas como se tivessem "posições" numeradas (dupla 1, dupla 2, dupla 3, dupla 4), multiplicando o resultado por 4! indevidamente, já que o torneio não distingue qual dupla é a "primeira".
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio de contagem de partições de um conjunto em pares não ordenados, combinado com o princípio da exclusão para tratar a restrição dos canhotos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (multiplicativo): se uma escolha pode ser feita de m formas e, para cada uma delas, uma segunda escolha pode ser feita de n formas, então há m × n formas de realizar as duas escolhas em sequência.
• Partição em pares não ordenados: quando se divide um grupo em subgrupos de tamanho 2 e esses subgrupos não têm identidade própria (não há "dupla 1" ou "dupla 2", apenas "duplas"), é preciso evitar contar a mesma divisão mais de uma vez.
• Princípio da exclusão (contagem complementar): para contar casos que satisfazem uma restrição, muitas vezes é mais simples calcular o total sem restrição e subtrair os casos que a violam.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "oito amigos, dos quais dois são canhotos" → um grupo de 8 elementos, dentro do qual 2 elementos recebem tratamento especial na contagem.
• Evidência 2: "formar quatro duplas" → o problema pede a divisão dos 8 amigos em 4 grupos de 2 pessoas cada, sem que haja distinção de "qual dupla é qual" (todas jogam o mesmo torneio, em pé de igualdade).
• Evidência 3: "Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos" → restrição clara: dentre todas as divisões possíveis, deve-se excluir aquelas em que os 2 canhotos acabam parceiros na mesma dupla.
• Síntese: o caminho de resolução é (i) contar o total de maneiras de dividir os 8 amigos em 4 duplas sem nenhuma restrição, (ii) contar quantas dessas divisões colocam os 2 canhotos juntos, e (iii) subtrair o segundo valor do primeiro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contando o total de divisões em 4 duplas (sem restrição)

Uma forma segura de contar, sem risco de repetir divisões, é sempre escolher o parceiro da pessoa "livre" de menor índice, na ordem:

• Fixe a Pessoa 1. Ela pode formar dupla com qualquer um dos outros 7 amigos → 7 possibilidades.
• Restam 6 pessoas ainda sem dupla. A próxima pessoa livre escolhe seu parceiro entre as 5 restantes → 5 possibilidades.
• Restam 4 pessoas. A próxima livre escolhe entre as 3 restantes → 3 possibilidades.
• Restam 2 pessoas: só existe 1 forma de formar essa última dupla.

Total sem restrição = 7 × 5 × 3 × 1 = 105

(Confirmação por fórmula: dividir 8 elementos em 4 pares não ordenados é 8!/(2⁴ × 4!) = 40320/(16×24) = 40320/384 = 105 — o mesmo valor, batendo com o raciocínio sequencial.)

Note que cada divisão final é contada uma única vez nesse método, pois a escolha é sempre feita a partir da pessoa livre de menor índice — não há duplicidade por reordenar as duplas.

Subpasso 4.2 — Contando os casos proibidos (os 2 canhotos juntos)

Se os 2 canhotos formam dupla entre si, essa dupla já está fixada (1 única forma de parear canhoto com canhoto). Restam então 6 amigos "não conflitantes" para formar as outras 3 duplas. Repetindo o mesmo raciocínio sequencial para esses 6:

• Pessoa livre de menor índice escolhe entre 5 restantes → 5
• Próxima livre escolhe entre 3 restantes → 3
• Última dupla → 1

Casos proibidos = 1 × 5 × 3 × 1 = 15

Subpasso 4.3 — Aplicando a exclusão e verificando

Número de divisões válidas = Total sem restrição − Casos proibidos

Número de divisões válidas = 105 − 15 = 90

Verificação: 90 está entre as alternativas oferecidas (alternativa C). Além disso, o número 105 aparece isolado como alternativa E — exatamente o total sem considerar a restrição, o que confirma que a "pegadinha" foi identificada e corretamente tratada com a subtração.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 69

❌ Incorreta: não corresponde a nenhum resultado coerente com o princípio multiplicativo aplicado à partição em duplas; surge de contas equivocadas ao usar C(8,2) de forma isolada e depois subtrair valores sem relação com a estrutura real do problema.

B) 70

❌ Incorreta: também não reflete nem o total geral (105) nem o total já descontado da restrição (90). Costuma aparecer para quem calcula C(6,2)×C(4,2)×C(2,2) sem dividir pela ordem das duplas, nem tratar corretamente a restrição dos canhotos.

C) 90

✅ Correta: é exatamente o resultado de 105 (total de formas de dividir os 8 amigos em 4 duplas) menos 15 (formas em que os 2 canhotos ficam na mesma dupla), aplicando corretamente o princípio da exclusão sobre a contagem de partições em pares não ordenados.

D) 104

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro clássico — subtrair apenas 1 do total (105 − 1), como se bastasse "descontar" a única forma de parear canhoto com canhoto, sem perceber que essa dupla proibida pode se combinar com 15 arranjos diferentes das outras 3 duplas. O erro conceitual é excluir a dupla proibida isoladamente, e não todas as configurações completas do torneio que a contêm.

E) 105

❌ Incorreta: é o total de maneiras de formar 4 duplas sem levar em conta a restrição dos canhotos. É a resposta de quem calcula corretamente a partição em pares, mas esquece de aplicar a condição "nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos" — a pegadinha central da questão.

🏆 Gabarito: C — 90 é o resultado de subtrair, do total de 105 divisões possíveis em 4 duplas, as 15 divisões em que os dois canhotos acabam formando dupla entre si, violando a restrição do enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa compatível com "total sem restrição (105) menos casos proibidos (15) = 90"; qualquer outro valor vem de erro em uma dessas duas etapas.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência combinatória com restrições — comissões com integrantes incompatíveis, filas com pessoas que não podem ficar lado a lado, e agora duplas/times com incompatibilidades. A técnica-mestra é sempre "total sem restrição" menos "casos que violam a restrição".
• Generalização: ao agrupar n elementos em pares sem ordem entre eles, use o produto sequencial (n−1)(n−3)(n−5)...×1, que já evita contar a mesma divisão duas vezes. Para restrições do tipo "X e Y não podem ficar juntos", trate X e Y como uma dupla fixa, conte os arranjos do restante e subtraia do total geral.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa repetir o total "livre" (aqui, 105), desconfie — ela ignora a restrição. Como a restrição só pode diminuir o número de casos válidos, qualquer alternativa maior ou igual ao total sem restrição já pode ser descartada — isso elimina D e E em poucos segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em probabilidade condicionada (probabilidade de os canhotos ficarem juntos = 15/105 = 1/7) e em problemas de "casais que não podem sentar juntos" em filas ou mesas redondas.