Questão 158 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (razão de semelhança entre sólidos) + Conversão de Unidades de Volume
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige lembrar que uma escala LINEAR precisa ser elevada ao CUBO quando o assunto é volume
• 🎯 Tema/Habilidade: Escala aplicada a grandezas tridimensionais e conversão cm³ → litro (Competência de área 2 do ENEM: grandezas, medidas e suas relações)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado o volume do reservatório NA MAQUETE (escala 1:200) e o consumo diário REAL do condomínio, por quantos dias o reservatório cheio abastece as famílias?"
• Palavras-chave decisivas: escala de 1 : 200, capacidade de 45 cm³, 30.000 litros por dia
• Armadilha típica: aplicar a escala de forma linear (multiplicando o volume só por 200) ou de forma quadrática (multiplicando por 200²), esquecendo que volume é uma grandeza que cresce com o CUBO da razão de escala
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da relação entre escala linear e escala volumétrica (k³), conversão correta de cm³ para litro, e interpretação da divisão como "quantos dias cabem dentro do total disponível"

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala de redução: é a razão entre uma medida representada (na maquete, no mapa, na planta) e a medida real correspondente. A escala 1:200 informa que 1 cm na maquete equivale a 200 cm (2 m) na realidade — mas essa razão vale, a princípio, apenas para COMPRIMENTOS.
• Semelhança de sólidos e razão de volumes: quando um sólido é reproduzido em escala linear k, suas áreas ficam multiplicadas por k² e seu volume fica multiplicado por k³, porque o volume é o produto de três dimensões lineares (comprimento × largura × altura), cada uma escalada por k.
• Conversão cm³ ↔ litro: por definição, 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico, ou seja, 1 L = 1.000 cm³. Essa conversão é o elo que transforma o volume calculado em centímetros cúbicos numa unidade compatível com o consumo diário (que já vem em litros).
• Consumo como taxa temporal: "30.000 litros por dia" é uma taxa; para saber "quantos dias" um volume total dura, basta dividir o volume disponível por essa taxa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "em escala de 1 : 200" → define a razão de semelhança LINEAR entre a maquete e o condomínio real; essa é a base que precisa ser elevada ao cubo para tratar de volume.
• Evidência 2: "existe um reservatório de água com capacidade de 45 cm³" → esse valor é o volume do reservatório NA MAQUETE (miniatura), não o volume real da caixa d'água do condomínio — é o ponto de partida do cálculo.
• Evidência 3: "sejam consumidos 30.000 litros de água" por dia → é a taxa de consumo REAL, já na unidade litros, que servirá de divisor no passo final.
• Síntese: o caminho lógico é converter o volume da maquete (45 cm³) em volume real usando a escala elevada ao cubo, transformar esse resultado de cm³ para litros, e então dividir pelo consumo diário de 30.000 L para obter o número de dias.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Elevando a escala linear ao cubo

A escala 1:200 diz respeito a comprimentos. Como o volume é uma grandeza tridimensional (comprimento × largura × altura), a razão entre o volume real e o volume da maquete é a razão de escala elevada ao cubo:

razão volumétrica = 200³ = 200 × 200 × 200 = 8.000.000

Ou seja, cada centímetro cúbico na maquete corresponde a 8 milhões de centímetros cúbicos na realidade.

Subpasso 4.2 — Calculando o volume real do reservatório

Multiplica-se o volume da maquete pela razão volumétrica encontrada:

V_real = 45 cm³ × 8.000.000 = 360.000.000 cm³

Subpasso 4.3 — Convertendo centímetros cúbicos em litros

Usando 1 L = 1.000 cm³, basta dividir por 1.000 (cortar os três últimos zeros):

V_real = 360.000.000 ÷ 1.000 = 360.000 litros

Subpasso 4.4 — Dividindo pelo consumo diário

O número de dias de abastecimento é o volume total disponível dividido pela taxa de consumo diário:

dias = 360.000 L ÷ 30.000 L/dia = 12 dias

Subpasso 4.5 — Verificação

Refazendo em ordem de grandeza: 45 × 8.000.000 ≈ 3,6 × 10⁸ cm³ = 3,6 × 10⁵ L; dividido por 3 × 10⁴ L/dia dá 12. O resultado é exato, coerente com as unidades e bate com uma das alternativas oferecidas: 12 dias.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 30

❌ Incorreta: não existe um caminho matemático coerente, a partir dos dados corretos, que produza 30. É um valor "solto", que provavelmente nasce de confundir o próprio número do consumo diário (30.000) com o resultado final, sem de fato realizar a conversão de escala ao cubo nem a divisão correta.

B) 15

❌ Incorreta: surge de um deslize de multiplicação na etapa da escala ao cubo. Se o aluno errar a conta 45 × 8.000.000 e encontrar 450.000.000 em vez de 360.000.000, ao dividir por 1.000 obtém 450.000 L; dividindo por 30.000, chega a 15 dias. O método (elevar ao cubo) até estava certo, mas a execução aritmética falhou.

C) 12

✅ Correta: é o resultado exato da sequência correta de operações — elevar a escala ao cubo (200³ = 8.000.000), multiplicar pelo volume da maquete (45 cm³ → 360.000.000 cm³), converter para litros (÷1.000 → 360.000 L) e dividir pelo consumo diário (360.000 ÷ 30.000 = 12).

D) 6

❌ Incorreta: é a "armadilha da área". O aluno eleva a escala apenas ao QUADRADO (200² = 40.000), como se estivesse calculando uma superfície e não um volume. Isso dá 45 × 40.000 = 1.800.000 cm³ = 1.800 litros — um valor que, manipulado de forma apressada e sem as conversões corretas, leva ao 6. O erro conceitual é tratar o reservatório como uma área (a "planta baixa" do condomínio), ignorando a terceira dimensão.

E) 3

❌ Incorreta: é a "armadilha mais grave", a da escala LINEAR aplicada diretamente ao volume. O aluno multiplica 45 apenas por 200 (como se escala de volume fosse igual à escala de comprimento), obtendo 9.000 — um número sem consistência física para um volume em cm³. Manipulações soltas com esse valor e com os dados da questão levam ao 3. O erro conceitual é ignorar que volume cresce com o CUBO da razão de escala, não linearmente.

🏆 Gabarito: C — a única sequência de operações fisicamente e matematicamente coerente (escala³ → conversão de unidades → divisão pelo consumo) resulta em exatamente 12 dias.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa compatível com a aplicação correta da escala elevada ao cubo combinada com a conversão precisa de cm³ para litros.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente escala aplicada a comprimentos (k), áreas (k²) e volumes (k³) em contextos de mapas, plantas baixas e maquetes — é um dos temas clássicos de Grandezas e Medidas.
• Generalização: sempre que a escala for linear (1:k) e a grandeza pedida for VOLUME, multiplique por k³; se for ÁREA, multiplique por k²; se for apenas COMPRIMENTO, multiplique por k¹.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro k³ (aqui, 200³ = 8.000.000) e verifique a ordem de grandeza do resultado final em relação ao consumo diário. Alternativas geradas por k¹ (como a E) ou k² (como a D) tendem a destoar visivelmente do valor correto, permitindo eliminá-las antes mesmo de finalizar a conta.
• Conexões: semelhança de sólidos e razão entre áreas/volumes, problemas de escala em mapas e plantas arquitetônicas, conversões entre unidades de capacidade (mL, L, m³).