Questão 168 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (Função Afim / modelagem algébrica de situações-problema)
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo em si é simples, mas exige atenção fina ao ler que o gerente está dentro do total X e não é diarista
• 🎯 Tema/Habilidade: Construção de uma expressão algébrica (função afim) que represente uma situação real de custo, distinguindo uma parcela fixa de uma parcela variável
• 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a lei da função Y (gasto semanal total) em termos de X (número total de funcionários), sabendo que um deles é o gerente, com salário fixo, e todos os demais são diaristas."
• Palavras-chave decisivas: "Um deles é o gerente", "os outros funcionários são diaristas", "quantidade total de funcionários"
• Armadilha típica: tratar todos os X funcionários como diaristas, esquecendo que o gerente está incluído em X mas não recebe como diarista — isso gera a resposta errada Y = 160X + 1000 (alternativa E), a mais escolhida por quem erra a questão.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de separar um grupo com regra de pagamento diferente dentro de um total genérico X, e depois recompor a expressão algébrica corretamente.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (Y = aX + b): modelo em que "a" é a taxa de variação (quanto Y cresce a cada unidade a mais de X) e "b" é o valor fixo, que existe mesmo que a parte variável seja zero.
• Modelagem de "grupo fixo + grupo variável": quando um total X contém um elemento com regra própria (aqui, o gerente), o correto é isolar esse elemento, calcular seu custo à parte, e aplicar a taxa variável apenas ao restante (X − 1), nunca a X inteiro.
• Salário semanal do diarista: como o diarista recebe por dia trabalhado, seu ganho semanal é o produto (dias trabalhados na semana) × (valor da diária), e não o valor de um único dia isolado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Um deles é o gerente, que recebe R$ 1000,00 por semana" → há exatamente 1 funcionário com salário fixo, que compõe o total X, mas tem tratamento à parte.
• Evidência 2: "Os outros funcionários são diaristas. Cada um trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado" → cada diarista custa 2 × 80 = R$ 160,00 por semana, e o número de diaristas não é X, e sim tudo que sobra depois de tirar o gerente.
• Evidência 3: "Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa" → X é o total, ou seja, X inclui o gerente. Logo, o número de diaristas é (X − 1).
• Síntese: o gasto semanal total é a soma de duas parcelas independentes — o salário fixo do gerente (R$ 1000,00) e o custo variável dos (X − 1) diaristas, cada um custando R$ 160,00 por semana.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Separar o total X em dois grupos

Se X é o número total de funcionários, e apenas 1 deles é o gerente, então o número de diaristas é:

Diaristas = X − 1

Subpasso 4.2 — Calcular o custo semanal de cada grupo e montar Y

• Custo do gerente (fixo): R$ 1000,00
• Custo semanal de cada diarista: 2 dias × R$ 80,00/dia = R$ 160,00
• Custo total dos diaristas: 160 × (X − 1)

Somando as duas parcelas:

Y = 1000 + 160 · (X − 1)

Distribuindo o 160:

Y = 1000 + 160X − 160

Y = 160X + 840

Subpasso 4.3 — Verificação com casos-limite

Teste 1 (X = 1, ou seja, só o gerente, nenhum diarista): pela lógica do problema, Y deve ser exatamente R$ 1000,00.

Pela fórmula: Y = 160(1) + 840 = 160 + 840 = 1000 ✓

Teste 2 (X = 2, gerente + 1 diarista): o gasto esperado é 1000 + 160 = R$ 1160,00.

Pela fórmula: Y = 160(2) + 840 = 320 + 840 = 1160 ✓

Os dois testes confirmam que Y = 160X + 840 é a expressão correta, o que corresponde à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Y = 80X + 920.

❌ Incorreta: usa 80 como coeficiente de X, ou seja, trata cada funcionário como se custasse o valor de um único dia de diária (e não os 2 dias efetivamente trabalhados). Testando X = 1: Y = 80 + 920 = 1000, até bate por coincidência, mas para X = 2: Y = 160 + 920 = 1080, valor que não corresponde ao esperado (1160). O modelo não generaliza corretamente para nenhum X > 1.

B) Y = 80X + 1000.

❌ Incorreta: repete o mesmo erro de usar 80 (valor de 1 dia) como coeficiente angular, ignorando que cada diarista trabalha 2 dias por semana (deveria ser 160). Além disso, soma 1000 diretamente ao termo com X, como se o gerente fosse contado separadamente sem nenhum desconto, o que também não fecha para X = 2 (dá 1160, mas por um caminho algébrico incoerente com os dados).

C) Y = 80X + 1080.

❌ Incorreta: mais uma variação do erro de usar 80 como taxa por funcionário (ignorando os 2 dias de trabalho semanal do diarista) somado a um ajuste incorreto do termo fixo (1080 não representa nenhuma composição coerente entre o salário do gerente e o valor de uma diária).

D) Y = 160X + 840.

✅ Correta: 160 é o custo semanal real de cada diarista (2 dias × R$ 80,00), aplicado corretamente sobre X. O termo 840 é o ajuste que "corrige" o fato de o gerente estar contado dentro de X sem ser diarista: em vez de deixar o modelo cobrar 160 pelo gerente, o termo fixo compensa essa diferença (1000 − 160 = 840), fazendo a conta fechar exatamente para qualquer valor de X.

E) Y = 160X + 1000.

❌ Incorreta: essa é a armadilha mais comum da questão. O coeficiente 160 está certo (2 dias × R$ 80,00), mas o termo independente simplesmente soma o salário do gerente (1000) sem descontar o valor de diarista que a fórmula já está cobrando indevidamente dele dentro de "160X". Na prática, essa expressão paga o gerente duas vezes: uma como se fosse diarista (dentro de 160X) e outra como gerente (no +1000). Basta testar X = 1: Y = 160 + 1000 = 1160, valor incompatível com a realidade (deveria ser exatamente 1000, já que só há o gerente).

🏆 Gabarito: D — Y = 160X + 840 é a única expressão que soma corretamente o salário fixo do gerente com o custo variável dos (X − 1) diaristas, cada um recebendo R$ 160,00 por semana, sem contar o gerente duas vezes.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D passa nos dois testes de sanidade (X = 1 e X = 2), porque é a única que reflete a decomposição correta: gerente fixo + (X − 1) diaristas variáveis.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora modelar orçamentos e folhas de pagamento com uma "parte fixa" e uma "parte variável" — contas de táxi, aluguel de carro, planos de telefonia e, como aqui, folha de pagamento seguem exatamente essa estrutura de função afim.
• Generalização: sempre que o enunciado disser que um total X inclui um elemento com regra de cobrança diferente dos demais, subtraia esse elemento do X antes de multiplicar pela taxa variável, e trate o valor dele separadamente na constante da função.
• Dica de eliminação rápida: teste X = 1 mentalmente (situação em que só existe o gerente). O gasto tem que dar exatamente R$ 1000,00. Isso elimina instantaneamente A, C e E, deixando praticamente só B e D para conferir com um segundo teste (X = 2), que confirma D.
• Conexões: funções afins com coeficiente angular e linear, sistemas de tarifação (taxa fixa + custo por unidade), interpretação de gráficos lineares de custo em função da quantidade.