Questão 152 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
• ⚡ Nível: Médio — exige transformar uma proporcionalidade inversa em uma divisão em partes proporcionais aos inversos das idades
• 🎯 Tema/Habilidade: Repartição de um total em partes inversamente proporcionais, aplicada a um problema contextualizado de licitação pública
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Divida R$ 31.000,00 entre três empresas de forma inversamente proporcional à idade das máquinas cadastradas (2, 3 e 5 anos) e informe o valor recebido pela empresa da máquina mais velha."
• Palavras-chave decisivas: inversamente proporcional, maior idade de uso, R$ 31.000,00
• Armadilha típica: tratar a relação como diretamente proporcional (imaginando que "máquina mais antiga = mais valor") ou, mesmo aplicando a inversão corretamente, esquecer para qual das três empresas a pergunta aponta e responder com o valor de outra máquina.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da técnica de repartir um total em partes inversamente proporcionais a números dados — o que exige transformar os números 2, 3 e 5 em seus inversos antes de montar a proporção — e identificar corretamente que "maior idade" corresponde ao menor pagamento.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando o produto x·y é constante — ou seja, quando uma cresce, a outra diminui na mesma razão.
• Repartir em partes inversamente proporcionais a a, b, c: equivale a repartir diretamente proporcional aos inversos 1/a, 1/b, 1/c. Isso porque, se P é inversamente proporcional à idade t, então P·t = k (constante) para todas as empresas.
• Constante de proporcionalidade (k): ao impor que P₂·2 = P₃·3 = P₅·5 = k e que P₂ + P₃ + P₅ = 31 000, obtemos um sistema simples que se resolve isolando cada Pᵢ em função de k.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina" → confirma que quanto maior a idade da máquina, menor o valor pago — a relação é de inversão, não de proporção direta.
• Evidência 2: "o total de recursos... é de R$ 31 000,00" → é o valor fixo que deve ser somado pelas três parcelas (P₂ + P₃ + P₅ = 31 000).
• Evidência 3: "máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso" → esses são exatamente os valores que entram invertidos (1/2, 1/3, 1/5) na proporção, e a pergunta final pede o valor associado à idade 5 (a maior das três).
• Síntese: o problema pede a resolução de uma repartição proporcional inversa clássica: montar P₂:P₃:P₅ = 1/2 : 1/3 : 1/5, usar a condição de soma igual a 31 000 e extrair o valor de P₅ — o pagamento da máquina mais velha, que deve ser o menor dos três.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a relação de proporcionalidade inversa

Sejam P₂, P₃ e P₅ os valores pagos às empresas com máquinas de 2, 3 e 5 anos, respectivamente. Como o pagamento é inversamente proporcional à idade, o produto "pagamento × idade" é o mesmo para as três empresas — é essa constante que define a repartição:

P₂ × 2 = P₃ × 3 = P₅ × 5 = k

Isolando cada valor em função de k:

P₂ = k/2 P₃ = k/3 P₅ = k/5

Subpasso 4.2 — Usar a soma total para encontrar k

Sabemos que P₂ + P₃ + P₅ = 31 000. Substituindo:

k/2 + k/3 + k/5 = 31 000

Colocando as frações em um denominador comum (mmc(2, 3, 5) = 30):

k×(15/30) + k×(10/30) + k×(6/30) = 31 000

k×(15 + 10 + 6)/30 = 31 000

k×(31/30) = 31 000

k = 31 000 × 30/31 = 1 000 × 30 = 30 000

Subpasso 4.3 — Calcular o valor de cada empresa e verificar

Com k = 30 000, cada empresa recebe:

P₂ = 30 000 ÷ 2 = R$ 15 000,00 (máquina de 2 anos — a mais nova, recebe o maior valor)

P₃ = 30 000 ÷ 3 = R$ 10 000,00 (máquina de 3 anos)

P₅ = 30 000 ÷ 5 = R$ 6 000,00 (máquina de 5 anos — a mais velha, recebe o menor valor)

Verificação da soma: 15 000 + 10 000 + 6 000 = R$ 31 000,00 ✓ (bate com o total do edital)

Verificação da proporcionalidade inversa: 15 000×2 = 30 000; 10 000×3 = 30 000; 6 000×5 = 30 000 — os três produtos são iguais a k, confirmando que a relação está correta.

Como a pergunta pede o valor recebido pela empresa com a maior idade de uso (5 anos), a resposta é R$ 6.000,00.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 3.100,00

❌ Incorreta: esse valor vem de 31 000 ÷ 10, onde 10 é a soma direta das idades (2 + 3 + 5). É o erro de calcular apenas o "valor de uma unidade" de uma proporção direta (sem inverter os números) e parar aí, sem sequer multiplicar pela idade correspondente — um resultado incompleto e conceitualmente errado, pois a relação do problema é inversa, não direta.

B) R$ 6.000,00

✅ Correta: é exatamente o valor de P₅, obtido ao repartir R$ 31 000,00 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. A máquina de maior idade (5 anos) recebe o menor valor entre as três, conforme a regra do edital.

C) R$ 6.200,00

❌ Incorreta: resulta de dividir o total diretamente pela idade da máquina em questão (31 000 ÷ 5 = 6 200), ignorando por completo as outras duas empresas e a necessidade de montar a proporção conjunta com o mmc. É um atalho equivocado que trata a repartição como se envolvesse apenas uma máquina isolada.

D) R$ 15.000,00

❌ Incorreta: esse é o valor correto de P₂ (a máquina de 2 anos, a mais nova), não de P₅. Quem comete esse erro aplicou corretamente o método de proporcionalidade inversa, mas se confundiu na hora de associar "maior idade" a "maior valor" — quando na verdade, por ser inversa, maior idade significa menor valor recebido.

E) R$ 15.500,00

❌ Incorreta: vem de tratar a relação como diretamente proporcional às idades: soma das idades = 10, valor unitário = 31 000 ÷ 10 = 3 100, e então 3 100 × 5 = 15 500 para a máquina de 5 anos. Esse é o erro conceitual mais grave da questão — inverter o sentido da proporcionalidade, fazendo a máquina mais velha receber o maior valor, quando o edital diz o oposto.

🏆 Gabarito: B — a repartição inversamente proporcional às idades 2, 3 e 5 anos, com soma igual a R$ 31 000,00, gera valores de R$ 15 000,00, R$ 10 000,00 e R$ 6 000,00; a máquina de maior idade (5 anos) recebe o menor valor, R$ 6.000,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única compatível com a condição "inversamente proporcional" combinada com a soma fixa de R$ 31 000,00 — qualquer outro valor exige inverter a lógica do problema ou isolar apenas uma máquina, o que contraria o enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de repartição em partes direta ou inversamente proporcionais, sempre em contextos aplicados (salários, prêmios, sociedades, licitações). A pegada clássica é misturar os dois tipos de proporcionalidade.
• Generalização: para repartir um total T em partes inversamente proporcionais a números a, b, c, sempre transforme o problema em uma proporcionalidade direta usando os inversos 1/a, 1/b, 1/c (ou, de forma equivalente, use a constante k tal que cada parte vale k dividido pelo respectivo número, com k encontrado pela soma das parcelas igualada a T).
• Dica de eliminação rápida: assim que ler "inversamente proporcional", desconfie de qualquer alternativa que faça a máquina/pessoa/grandeza com o maior número (idade, tempo, distância) receber o maior valor — isso elimina de cara alternativas como a E nesta questão, que inverte a lógica pedida.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de divisão de lucros entre sócios (proporcional ao capital investido ou ao tempo de trabalho) e em problemas de regra de três composta, onde é preciso identificar corretamente se cada grandeza envolvida é direta ou inversamente proporcional à grandeza de referência.