Questão 164 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área de figuras compostas) e Geometria Espacial (volume de prismas)
• ⚡ Nível: Médio — exige decompor uma figura irregular em retângulos, converter unidade de medida e ainda raciocinar sobre otimização logística.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de área de figuras planas compostas para obtenção de volume, com aplicação prática de conversão de unidades (H14/H16 — resolver situação-problema envolvendo grandezas geométricas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra quantos metros cúbicos de concreto a laje precisa e, com essa quantidade, escolha a combinação de caminhões (2 m³, 5 m³ ou 10 m³) que exige o menor número de viagens."
• Palavras-chave decisivas: espessura de 5 cm, menor quantidade de caminhões, capacidades máximas
• Armadilha típica: calcular a área da planta ignorando os "degraus" da figura (tratando-a como um retângulo simples de 14 m × 5 m) ou esquecer de converter a espessura de centímetros para metros antes de multiplicar pela área.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe decompor uma figura irregular em partes simples, converter corretamente as unidades e transformar o resultado (volume) em uma decisão logística eficiente, sem desperdício de material nem excesso de viagens.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área de figuras compostas: figuras com formato irregular (como este contorno em "escada") são calculadas decompondo-as em retângulos cujas áreas são somadas ou subtraídas.
• Conversão de unidades: para multiplicar comprimentos (em metros) por espessura (em centímetros), é obrigatório deixar tudo na mesma unidade — aqui, 5 cm = 0,05 m.
• Volume de um prisma: quando uma laje tem espessura constante, seu volume é dado por V = Área da base × altura (espessura), pois a laje é um prisma reto de base irregular.
• Otimização com restrição de capacidade: dado um volume-alvo, a "menor quantidade de caminhões" é obtida escolhendo a combinação de capacidades que atinge (ou cobre, sem exagero) o volume necessário usando o menor número de veículos possível.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "espessura de 5 cm" → é a altura do prisma que representa a laje; precisa virar 0,05 m para ser compatível com as medidas em metros da planta.
• Evidência 2 (figura): o contorno mostra uma planta com topo de 8 m, um degrau de 1 m (vertical) seguido de 3 m (horizontal), outro degrau de 2 m (vertical) seguido de 3 m (horizontal), lado direito total de 8 m (1+2+5) e base de 14 m → a área não é a de um retângulo simples, exige decomposição.
• Evidência 3: "caminhões com capacidades máximas de 2 m³, 5 m³ e 10 m³" e "menor quantidade de caminhões" → o problema pede para casar o volume calculado com a combinação mais enxuta de capacidades, sem sobrar nem faltar concreto de forma grosseira.
• Síntese: primeiro se calcula a área real da planta (com os degraus), depois se converte a espessura, se obtém o volume final e, só então, se decide qual caminhão (ou combinação) atende a essa demanda com o menor número de viagens.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área da planta da laje

A forma mais rápida é imaginar o retângulo envolvente (o menor retângulo que contém toda a figura) e depois subtrair os dois "degraus" vazios do canto superior direito.

Altura total do retângulo envolvente: 1 m + 2 m + 5 m = 8 m (soma dos trechos verticais do lado direito).

Base do retângulo envolvente: 14 m.

Área do retângulo envolvente = 14 × 8 = 112 m²

Agora subtraem-se os dois recortes que faltam para formar os degraus:

• Recorte 1 (larguras 14 − 8 = 6 m; altura 1 m): 6 × 1 = 6 m²
• Recorte 2 (largura 14 − 11 = 3 m, sendo 11 = 8 + 3; altura 2 m): 3 × 2 = 6 m²

Área da laje = 112 − 6 − 6 = 100 m²

Conferência: somando em faixas horizontais — 8×1 + 11×2 + 14×5 = 8 + 22 + 70 = 100 m² — o resultado se confirma.

Subpasso 4.2 — Volume de concreto necessário

Convertendo a espessura: 5 cm = 0,05 m.

V = Área × espessura = 100 m² × 0,05 m = 5 m³

Subpasso 4.3 — Verificação e escolha dos caminhões

O mestre de obras precisa exatamente de 5 m³ de concreto. Entre as capacidades oferecidas (2 m³, 5 m³, 10 m³), uma delas bate em cheio com a demanda: 5 m³. Basta 1 caminhão de 5 m³ para entregar o volume exato em uma única viagem — não há como usar menos que 1 veículo, e qualquer outra combinação exigiria mais viagens ou geraria sobra de concreto. Isso confirma a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Dez caminhões com capacidade máxima de 10 m³.

❌ Incorreta: essa combinação forneceria até 100 m³ de concreto — vinte vezes mais do que os 5 m³ necessários — e ainda exigiria dez viagens, o oposto de "menor quantidade de caminhões".

B) Cinco caminhões com capacidade máxima de 10 m³.

❌ Incorreta: forneceria até 50 m³, dez vezes acima da demanda real, além de somar cinco viagens desnecessárias quando uma só já resolveria o problema.

C) Um caminhão com capacidade máxima de 5 m³.

✅ Correta: a demanda calculada é exatamente 5 m³; um único caminhão dessa capacidade atende ao pedido por completo, sem desperdício de concreto e com o menor número possível de viagens (apenas uma).

D) Dez caminhões com capacidade máxima de 2 m³.

❌ Incorreta: essa opção fornece até 20 m³ (quatro vezes mais que o necessário) e, principalmente, exige dez viagens — muito distante do mínimo de uma única viagem que a situação permite.

E) Um caminhão com capacidade máxima de 2 m³.

❌ Incorreta: entrega apenas 2 m³ de concreto, volume insuficiente para os 5 m³ exigidos pela laje — faltariam 3 m³ para concluir o serviço.

🏆 Gabarito: C — a área da laje (100 m²) multiplicada pela espessura convertida (0,05 m) resulta em exatamente 5 m³ de concreto, volume que é plenamente atendido por um único caminhão de 5 m³, a solução com o menor número de viagens.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como o volume necessário (5 m³) coincide exatamente com uma das capacidades oferecidas, um único caminhão de 5 m³ é, ao mesmo tempo, suficiente e o mínimo possível — por isso a alternativa C é a única correta.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma combinar leitura de planta baixa (figura composta) com cálculo de área, conversão de unidades e volume de sólidos simples, sempre embrulhando tudo em um contexto prático (construção civil, reservatórios, embalagens).
• Generalização: para "volume de material com espessura constante", o caminho é sempre o mesmo: (1) decompor a figura e calcular a área da base; (2) converter a espessura para a mesma unidade das demais medidas; (3) multiplicar área pela espessura para obter o volume.
• Dica de eliminação rápida: calcule o volume-alvo antes de olhar as alternativas. Descarte de cara qualquer opção cujo total fornecido seja muito maior (A, B, D) ou menor (E) que esse valor — sobra apenas a alternativa cujo total bate exatamente com a conta.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica ao cálculo de volume de piscinas, reservatórios e caixas d'água, além de problemas de otimização de recursos (minimizar veículos, embalagens ou lotes para atender uma demanda fixa).