Questão 113 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Física → Eletromagnetismo (força magnética sobre cargas e movimento circular)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar a força magnética como resultante centrípeta com a cinemática do MCU, mas sem nenhum dado numérico para calcular, só manipulação algébrica.
• 🎯 Tema/Habilidade: Força magnética sobre carga em movimento e período do movimento circular uniforme (frequência ciclotrônica) — competência de modelar fenômenos eletromagnéticos a partir de uma situação-problema.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a expressão da massa m do íon em função de q, B, N e t, sabendo que ele descreve N voltas completas em um campo magnético uniforme durante o tempo t."
• Palavras-chave decisivas: campo magnético constante, velocidade angular independente da velocidade inicial, N voltas em tempo t
• Armadilha típica: confundir o período de UMA volta com o tempo total t (esquecer de dividir por N) ou errar o fator 2π ao passar de velocidade angular para período — isso gera as alternativas B, C, D e E, que são justamente esses deslizes algébricos.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe deduzir, a partir da 2ª Lei de Newton aplicada ao movimento circular, a relação m = qBt/(2πN), entendendo por que a frequência do giro não depende da velocidade do íon.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Força magnética (Força de Lorentz): uma carga q que se move com velocidade v em um campo magnético B sofre força F = qvB·senθ, sempre perpendicular à velocidade. Quando v é perpendicular a B, essa força tem intensidade máxima F = qvB e atua como força centrípeta, curvando a trajetória em um círculo.
• Movimento circular uniforme (MCU) causado pelo campo: como a força magnética nunca realiza trabalho (é sempre perpendicular ao deslocamento), o módulo da velocidade no plano perpendicular a B não muda — o íon percorre uma circunferência com velocidade constante em módulo.
• Movimento helicoidal: a velocidade inicial do íon tem uma componente perpendicular a B (que gera o MCU no plano yz) e uma componente paralela a B (ao longo do eixo x), que não sofre força magnética nenhuma (pois é paralela a B) e por isso permanece em movimento retilíneo uniforme. A soma dos dois movimentos é a hélice da figura.
• Frequência ciclotrônica (o "pulo do gato" da questão): igualando a força magnética à força centrípeta, chega-se a uma velocidade angular ω = qB/m, que não depende de v. É exatamente essa independência que o enunciado destaca — e é o que torna o espectrômetro de tempo de voo funcional: não importa com que velocidade o íon entra, o tempo de cada volta é sempre o mesmo para uma dada razão q/m.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "descrevendo uma trajetória helicoidal... movimento circular uniforme no plano yz e uma translação ao longo do eixo x" → confirma que o campo B aponta ao longo do eixo x (como mostra a figura) e que a física relevante para achar m está inteiramente no plano yz, onde ocorre o MCU.
• Evidência 2: "a velocidade angular do movimento helicoidal do íon é independente de sua velocidade inicial" → é a dica direta de que devemos usar ω = qB/m (relação que não contém v), e não uma fórmula que dependa da velocidade do íon — informação que sequer é fornecida no enunciado.
• Evidência 3: "mede o tempo t de voo para N voltas do íon" → diz que t não é o período de uma única volta, mas o tempo de N períodos completos; portanto T = t/N é o dado intermediário que conecta o tempo medido à física do MCU.
• Síntese: o caminho é: (1) igualar força magnética a força centrípeta para achar ω = qB/m; (2) relacionar ω ao período T = 2π/ω; (3) usar que o tempo total t corresponde a N períodos, ou seja, t = N·T; (4) isolar m.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Igualar a força magnética à força centrípeta

No plano yz, o íon de carga q, velocidade v (componente perpendicular a B) e campo B perpendicular a essa velocidade sofre força magnética de módulo:

F = qvB

Essa força é a responsável por curvar a trajetória em círculo, logo ela desempenha o papel de força centrípeta do MCU:

F_cp = m·v²/R

Igualando:

qvB = m·v²/R ⟹ qB = m·v/R

Subpasso 4.2 — Obter a velocidade angular e o período

Como v = ω·R (relação entre velocidade linear e angular no MCU), substituindo v/R = ω:

qB = m·ω ⟹ ω = qB/m

Repare que v desapareceu da expressão — é exatamente a independência mencionada no enunciado. Agora, o período de uma volta completa é:

T = 2π/ω = 2π·m/(qB)

Subpasso 4.3 — Relacionar o tempo total t com N voltas e isolar m

O dispositivo mede o tempo t necessário para completar N voltas. Como cada volta dura T, o tempo total é:

t = N·T

Substituindo T = 2πm/(qB):

t = N · 2πm/(qB)

Isolando m:

m = qBt / (2πN)

Verificação: analisando as unidades, [q]=C, [B]=T=kg/(C·s), [t]=s, [N] é adimensional. Então qBt tem unidade C·kg/(C·s)·s = kg, e dividir por 2πN (adimensional) mantém kg — coerente com massa. A expressão m = qBt/(2πN) bate exatamente com a alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) qBt / 2πN

✅ Correta: é exatamente o resultado da dedução — vem de igualar qB = mω, usar T = 2π/ω = 2πm/(qB) e t = N·T, isolando m = qBt/(2πN). Contém corretamente o fator 2π (de T = 2π/ω) e a divisão por N (de t = N·T).

B) qBt / πN

❌ Incorreta: erro no fator do período — corresponde a usar T = π/ω (metade do valor correto) em vez de T = 2π/ω. Esse deslize surge de confundir a relação entre período e velocidade angular, esquecendo que uma volta completa corresponde a um ângulo de 2π radianos, não π.

C) 2qBt / πN

❌ Incorreta: mistura dois erros — usa T = π/ω (fator errado, igual ao item B) e ainda multiplica por 2 indevidamente, provavelmente por confundir diâmetro com raio em alguma etapa da manipulação algébrica. O resultado fica com o fator 2π invertido (π no denominador com um 2 extra no numerador) em vez de 2π no denominador.

D) qBt / N

❌ Incorreta: omite completamente o fator 2π, como se período e velocidade angular fossem numericamente iguais (T = 1/ω em vez de T = 2π/ω). É o erro de quem lembra que "T e ω se relacionam" mas esquece a constante geométrica de uma volta completa (2π radianos).

E) 2qBt / N

❌ Incorreta: também omite o 2π do período e ainda introduz um fator 2 extra no numerador, como se a massa fosse proporcional ao dobro de qBt/N. É a combinação dos erros de D com uma confusão adicional de fator numérico, resultando na expressão mais distante da física correta.

🏆 Gabarito: A — a massa do íon é m = qBt/(2πN), obtida ao igualar a força magnética à força centrípeta (donde ω = qB/m), converter para o período T = 2πm/(qB) e usar que o tempo medido t corresponde a N períodos completos (t = N·T).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A preserva corretamente o fator 2π (vindo de uma volta completa = 2π rad) no denominador e a divisão por N (vindo de t = N·T); todas as demais alteram um desses dois elementos por engano algébrico.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora explorar a força magnética como força centrípeta em contextos de "aplicações tecnológicas" (espectrômetro de massa, ciclotron, seletor de velocidades) — o raciocínio-chave é sempre igualar qvB = mv²/R e depois manipular período, frequência ou raio.
• Generalização: sempre que uma partícula carregada realizar MCU sob campo magnético perpendicular à velocidade, memorize o "trio de ouro": ω = qB/m, T = 2πm/(qB) e R = mv/(qB) — a partir daí, qualquer variável pedida (massa, período, raio, frequência) é isolamento algébrico direto.
• Dica de eliminação rápida: cheque primeiro o fator numérico do denominador: se não tiver "2π" (como em D e E), já elimine — o período de uma volta SEMPRE carrega 2π. Depois cheque se aparece N dividindo (pois t é o tempo de N voltas, não de uma só) — isso descarta expressões sem N no denominador.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "força magnética = força centrípeta" aparece em questões sobre seletores de velocidade, aceleradores de partículas (ciclotron/síncrotron) e no cálculo do raio da órbita de elétrons em campos magnéticos (usado, por exemplo, para explicar espectros de massa em Química Analítica).