Questão 176 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem, Equações do 1º grau, Matemática Financeira
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo em si é simples, mas exige montar corretamente duas parcelas já alteradas (projeto e área) e isolar uma terceira dentro de uma equação de porcentagem
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas com porcentagens sucessivas aplicadas a itens diferentes de um mesmo orçamento (Competência de Área 5 — Matemática e suas Tecnologias)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual desconto percentual nos custos fixos faz o orçamento total cair 10% em relação ao valor inicial, já considerando a redução de 50% no projeto e o aumento de 25% no valor do m²?"
• Palavras-chave decisivas: reduzir em 50%, aumentá-lo em 25%, reduzido em 10% em relação ao total inicial
• Armadilha típica: aplicar o desconto de 10% diretamente sobre os custos fixos (em vez de sobre o orçamento total), ou esquecer de recalcular a área com o novo valor por m², ou esquecer que o projeto também mudou de valor.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar o orçamento inicial completo, calcular o orçamento final desejado (90% do inicial), substituir os dois itens já modificados (projeto e área) e isolar a incógnita — o novo valor dos custos fixos — para então converter essa diferença em percentual de desconto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como operador multiplicativo: aumentar um valor V em x% equivale a multiplicá-lo por (1 + x/100); reduzi-lo em x% equivale a multiplicá-lo por (1 − x/100). Esse é o atalho que evita erros de "somar/subtrair porcentagens de bases diferentes".
• Orçamento como soma de parcelas independentes: Total = Projeto + Custos fixos + (Valor por m² × Área). Cada parcela pode variar com uma regra própria — por isso é essencial tratar cada uma separadamente antes de somar.
• Equação do 1º grau para isolar a incógnita: conhecendo o total desejado e todas as parcelas exceto uma, a parcela desconhecida é obtida por subtração simples, e o percentual de variação dessa parcela é calculado em relação ao SEU próprio valor original, não ao total do orçamento.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "R$ 2.500,00 por metro quadrado" e "área total... igual a 40 m²" → custo variável inicial = 2.500 × 40 = R$ 100.000,00.
• Evidência 2: "reduzir o valor de elaboração do projeto em 50%" → novo projeto = 10.000 × 0,5 = R$ 5.000,00.
• Evidência 3: "recalculou o valor do metro quadrado... aumentá-lo em 25%" → novo valor/m² = 2.500 × 1,25 = R$ 3.125,00; nova área construída = 3.125 × 40 = R$ 125.000,00.
• Evidência 4: "o novo valor do orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial" → orçamento final = 90% do orçamento inicial total.
• Síntese: com o total inicial e o total final conhecidos, e com projeto e área já recalculados, resta uma única incógnita — o novo valor dos custos fixos. Basta isolá-la na equação da soma e depois calcular o percentual de redução em relação ao valor original de R$ 40.000,00.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Orçamento inicial total

Projeto: R$ 10.000,00

Custos fixos: R$ 40.000,00

Área interna: 2.500 × 40 = R$ 100.000,00

Total inicial = 10.000 + 40.000 + 100.000 = R$ 150.000,00

Subpasso 4.2 — Recalculando projeto e área (itens já alterados no enunciado)

Projeto novo = 10.000 × (1 − 0,50) = R$ 5.000,00

Valor/m² novo = 2.500 × (1 + 0,25) = R$ 3.125,00

Área novo = 3.125 × 40 = R$ 125.000,00

Subpasso 4.3 — Orçamento final desejado

O total deve cair 10% em relação ao total inicial:

Total final = 150.000 × (1 − 0,10) = 150.000 × 0,90 = R$ 135.000,00

Subpasso 4.4 — Isolando o novo valor dos custos fixos

Total final = Projeto novo + Área novo + Custos fixos novo

135.000 = 5.000 + 125.000 + CF_novo

135.000 = 130.000 + CF_novo

CF_novo = R$ 5.000,00

Subpasso 4.5 — Calculando o percentual de desconto

O desconto incide sobre o valor ORIGINAL dos custos fixos (R$ 40.000,00), não sobre o orçamento total:

Desconto = (40.000 − 5.000) ÷ 40.000 = 35.000 ÷ 40.000 = 0,875 = 87,5%

Verificação: 5.000 + 125.000 + 5.000 = 135.000 ✓, e 135.000 ÷ 150.000 = 0,90, ou seja, exatamente 90% do total inicial (redução de 10%) ✓. O resultado bate com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 23,3%.

❌ Incorreta: esse valor surge quando se divide o desconto em reais (R$ 35.000,00) pelo orçamento TOTAL inicial (R$ 150.000,00) — 35.000 ÷ 150.000 ≈ 0,233. É um erro de base: a questão pede o percentual de desconto "nos custos fixos", logo a base de comparação tem de ser o valor original dos custos fixos (R$ 40.000,00), e não o orçamento inteiro.

B) 25,0%.

❌ Incorreta: coincide numericamente com o percentual de aumento do valor por metro quadrado (25%) informado no próprio enunciado. É a armadilha de transportar um dado numérico já usado no texto diretamente para a resposta, sem de fato calcular o desconto pedido sobre os custos fixos.

C) 50,0%.

❌ Incorreta: repete o percentual de redução aplicado ao projeto (50%). É o erro de quem assume, sem verificar, que todos os itens do orçamento sofreriam a mesma variação percentual — quando, na verdade, cada parcela tem sua própria regra de ajuste, e o desconto nos custos fixos é uma incógnita a ser calculada, não copiada de outro dado.

D) 87,5%.

✅ Correta: é exatamente o valor obtido isolando os custos fixos na equação do orçamento — CF_novo = R$ 5.000,00 — e comparando essa redução (R$ 35.000,00) com o valor original dos custos fixos (R$ 40.000,00): 35.000 ÷ 40.000 = 87,5%.

E) 100,0%.

❌ Incorreta: esse resultado aparece quando o candidato esquece de reduzir o valor do projeto em 50% e mantém R$ 10.000,00 no cálculo. Nesse cenário errado: 10.000 + 125.000 + CF_novo = 135.000 → CF_novo = 0, o que sugeriria eliminar totalmente os custos fixos (desconto de 100%). O erro nasce de ignorar uma das três alterações descritas no enunciado, não de uma falha na equação em si.

🏆 Gabarito: D — o desconto de 87,5% nos custos fixos é o único valor que, somado ao novo projeto (R$ 5.000,00) e à nova área (R$ 125.000,00), reproduz exatamente o orçamento final de R$ 135.000,00 (90% do total inicial de R$ 150.000,00).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa consistente com as três condições simultâneas do enunciado — projeto −50%, valor/m² +25% e orçamento total −10% — verificadas pela equação 5.000 + 125.000 + CF_novo = 135.000.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar porcentagens sucessivas aplicadas a itens diferentes de uma mesma soma (orçamentos, salários, preços com acréscimos e descontos combinados), exigindo que o candidato monte uma equação em vez de operar "de cabeça".
• Generalização: sempre que o enunciado disser "aumento/redução de X% sobre um valor" seguido de "o total deve variar Y%", trate cada parcela com seu próprio fator multiplicativo (1 ± percentual/100), some tudo e só então isole a incógnita — nunca aplique a variação do total diretamente sobre uma única parcela.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o orçamento inicial e o orçamento final desejado; qualquer alternativa que repita um número já citado no enunciado (25% ou 50%) é forte candidata a armadilha — isso permite descartar B e C em segundos, restando apenas comparar A, D e E pela base de cálculo correta.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de reajuste salarial com múltiplas taxas, cálculo de preço final com desconto e acréscimo simultâneos, e problemas de juros simples/compostos que combinam duas ou mais variações percentuais sobre uma mesma quantia.