Questão 160 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (Média Aritmética)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é elementar, mas a questão embute uma pegadinha conceitual sobre como a troca de um único elemento afeta a média do grupo.
• 🎯 Tema/Habilidade: Média aritmética e efeito da substituição de um elemento em um conjunto de dados (tratamento de informações estatísticas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Um jogador de altura desconhecida sai de um time de 20 (média 1,80 m) e entra outro 0,20 m mais baixo que ele; qual é a nova média do grupo, que continua com 20 jogadores?"
• Palavras-chave decisivas: 20 jogadores, 0,20 m mais baixo que o anterior, novo grupo
• Armadilha típica: achar que falta a altura exata do jogador contundido para resolver, ou subtrair os 0,20 m diretamente da média (sem dividir pelo total de jogadores), imaginando que a variação de um único atleta se transfere inteira para a média do time.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato entende a relação soma = média × quantidade, e que uma variação pontual em um elemento se dilui entre todos os integrantes do grupo — não afeta a média de forma integral.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética: é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Aqui, altura média = (soma das alturas dos 20 jogadores) ÷ 20.
• Reconstrução da soma a partir da média: se a média de n valores é M, então a soma total desses valores é sempre n × M. Essa é a ferramenta-chave para "recuperar" o total de alturas sem conhecer cada jogador individualmente.
• Efeito de uma substituição na soma do grupo: ao trocar um elemento x por outro que vale (x − d), a soma do conjunto diminui exatamente d — qualquer que seja o valor de x. Isso é o que permite resolver a questão mesmo sem saber a altura do jogador lesionado.
• Reflexo da variação da soma na média: como a quantidade de elementos continua sendo 20 (um sai, outro entra), a nova média é a média antiga menos d ÷ 20, ou seja, o "prejuízo" de 0,20 m se reparte igualmente entre os 20 jogadores, não recai só sobre um.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "plantel de 20 jogadores, com média de altura igual a 1,80 m" → fornece diretamente o meio de reconstruir a soma total inicial das alturas: 20 × 1,80 = 36,00 m.
• Evidência 2: "forçando o técnico a contratar outro jogador para recompor o grupo" → o grupo permanece com 20 jogadores (um sai, outro entra); não há redução para 19, o que descarta qualquer cálculo com denominador diferente de 20.
• Evidência 3: "o novo jogador é 0,20 m mais baixo que o anterior" → fornece a diferença exata entre quem saiu e quem entrou, sem revelar a altura de nenhum dos dois — e é justamente essa diferença que determina a variação da soma total.
• Síntese: como o número de jogadores não muda e a única informação numérica disponível é a diferença de 0,20 m entre o jogador que saiu e o que entrou, basta descontar esse valor da soma total do grupo e dividir de novo por 20 para achar a nova média. Não é preciso — nem é possível — determinar a altura exata de nenhum jogador individualmente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reconstruir a soma total das alturas do grupo original

Se a média aritmética das alturas dos 20 jogadores é 1,80 m, então:

Soma total = número de jogadores × média = 20 × 1,80 = 36,00 m

Subpasso 4.2 — Calcular a nova soma após a substituição

Seja h a altura (desconhecida) do jogador contundido, que saiu do time. O jogador novo tem altura h − 0,20.

Nova soma = (Soma total − h) + (h − 0,20) = Soma total − h + h − 0,20 = Soma total − 0,20

Repare que o valor de h se cancela — a altura do jogador que saiu é irrelevante para o resultado final.

Nova soma = 36,00 − 0,20 = 35,80 m

Subpasso 4.3 — Calcular a nova média e verificar

Nova média = Nova soma ÷ número de jogadores = 35,80 ÷ 20 = 1,79 m

Verificação por atalho: variação da média = variação da soma ÷ quantidade = (−0,20) ÷ 20 = −0,01 m. Nova média = 1,80 − 0,01 = 1,79 m. ✅ Os dois caminhos convergem, e 1,79 é exatamente o valor da alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,60.

❌ Incorreta: resulta de subtrair os 0,20 m inteiros diretamente da média (1,80 − 0,20 = 1,60), como se a variação de altura de um único jogador afetasse a média do grupo inteiro sem se diluir entre os 20 integrantes. Esse é o erro conceitual mais comum na questão: confundir "diferença entre dois jogadores" com "diferença na média do grupo".

B) 1,78.

❌ Incorreta: surge ao dividir a variação de 0,20 m por um número menor que 20 (por exemplo, por 10), gerando 1,80 − 0,02 = 1,78. É um erro de dimensionamento do grupo — tratar a divisão como se o time tivesse a metade dos jogadores.

C) 1,79.

✅ Correta: é o resultado exato de (20 × 1,80 − 0,20) ÷ 20, obtido reconstruindo a soma total do grupo, descontando apenas a diferença de 0,20 m entre o jogador que saiu e o que entrou, e redividindo por 20 jogadores.

D) 1,81.

❌ Incorreta: nasce de um erro de sinal — somar em vez de subtrair a fração da variação (1,80 + 0,20 ÷ 20 = 1,81), como se o jogador novo fosse mais alto que o anterior, invertendo a informação "mais baixo" do enunciado, embora a divisão por 20 esteja correta.

E) 1,82.

❌ Incorreta: combina os dois erros anteriores — sinal trocado (soma em vez de subtração) e divisão por um número menor que 20, resultando em 1,80 + 0,02 = 1,82.

🏆 Gabarito: C — a nova média é 1,79 m, pois a soma total das alturas cai exatamente 0,20 m (de 36,00 m para 35,80 m) e esse valor, dividido pelos mesmos 20 jogadores, reduz a média em apenas 0,01 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C nasce da combinação correta entre a reconstrução da soma via n × M, o desconto exato de 0,20 m (sem trocar o sinal) e a divisão pelo número certo de jogadores (20).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma testar médias com uma "torção": um elemento do conjunto é trocado, somado ou removido, e pede-se a nova média sem fornecer todos os valores individuais — o objetivo é verificar se o estudante domina a relação soma = média × quantidade em vez de decorar fórmulas.
• Generalização: sempre que um elemento de um conjunto de média M e tamanho n for substituído (ou o conjunto ganhar/perder um elemento), primeiro reconstrua a soma total (n × M), depois ajuste essa soma pela variação conhecida e só então divida pela nova quantidade de elementos.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa for igual a M ± d sem nenhuma divisão (aqui, 1,60 = 1,80 − 0,20), ela quase certamente é uma armadilha — elimine de cara. Em seguida, veja a direção da mudança: como o jogador novo é mais baixo, a média só pode diminuir, o que já descarta D e E antes de qualquer cálculo detalhado.
• Conexões: medidas de tendência central (média, moda e mediana), média ponderada e problemas de "efeito de inclusão/exclusão de elementos" em conjuntos de dados — temas recorrentes em questões de estatística básica do ENEM.