Questão 137 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (definição, propriedades e resolução de inequações logarítmicas)
• ⚡ Nível: Médio — exige transformar uma dupla condição de pH em uma dupla inequação envolvendo logaritmo e depois "desfazer" o logaritmo corretamente.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de função logarítmica a um contexto real (química do solo), competência de modelagem matemática e resolução de inequações.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra em qual intervalo de valores deve estar a concentração x de H⁺ para que a Hydrangea seja rosa e, ao mesmo tempo, tenha pH menor que 8."
• Palavras-chave decisivas: pH > 7 (rosa), pH < 8 (mais valorizada), x = 10⁻ᵖᴴ
• Armadilha típica: inverter o sentido da desigualdade ao passar do pH para x, já que a função logarítmica com base maior que 1 é crescente, mas aqui ela aparece com sinal negativo (pH = −log₁₀x), o que exige atenção redobrada ao trocar de variável.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir duas condições verbais (cor rosa + maior valor comercial) em uma única inequação dupla para x, resolvendo-a com as propriedades corretas de logaritmo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Definição de logaritmo: log₁₀x = k é equivalente a x = 10ᵏ. É essa equivalência que permite "desfazer" o logaritmo e isolar x.
• Função logarítmica é crescente (base 10 > 1): se log₁₀a < log₁₀b, então a < b, e vice-versa — a ordem se preserva ao aplicar ou remover o logaritmo, desde que a base seja a mesma.
• Multiplicar uma desigualdade por −1 inverte o sinal: essa é a etapa mais delicada da questão, pois pH = −log₁₀x tem um sinal negativo que precisa ser tratado com cuidado ao isolar log₁₀x.
• Notação científica/potências de 10: 10⁻⁸ e 10⁻⁷ são números muito pequenos (0,00000001 e 0,0000001), típicos de concentrações de íons em química.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa" → para a flor ser rosa, a primeira condição obrigatória é pH > 7.
• Evidência 2: "a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada [...] seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8" → a segunda condição, que restringe ainda mais o intervalo, é pH < 8.
• Evidência 3: "pH = −log₁₀x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H⁺)" → fornece a fórmula exata que conecta a variável pedida (x) com a variável das condições (pH), permitindo transformar as desigualdades de pH em desigualdades de x.
• Síntese: Juntando as duas evidências, a flor rosa mais valiosa exige simultaneamente pH > 7 e pH < 8, ou seja, 7 < pH < 8. Usando a fórmula do pH, basta substituir essa dupla desigualdade e isolar x para obter a resposta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a inequação dupla para o pH

O texto estabelece duas condições que devem valer ao mesmo tempo:

• Flor rosa: pH > 7
• Maior valor comercial: pH < 8

Juntando as duas em uma única sentença:

7 < pH < 8

Subpasso 4.2 — Substituir pH por −log₁₀x e isolar log₁₀x

Como pH = −log₁₀x, substitui-se diretamente na inequação dupla:

7 < −log₁₀x < 8

Para isolar log₁₀x, multiplica-se toda a inequação por −1. Essa é a etapa crítica: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido das desigualdades se inverte (o "<" vira ">"):

−7 > log₁₀x > −8

Reescrevendo na ordem crescente usual (do menor para o maior valor):

−8 < log₁₀x < −7

Subpasso 4.3 — Verificação: desfazer o logaritmo para obter x

Como a função log₁₀ é crescente, aplicar a potência de base 10 em cada membro preserva o sentido das desigualdades:

10⁻⁸ < x < 10⁻⁷

Fazendo a checagem numérica: se x = 10⁻⁷·⁵ (valor intermediário), então pH = −log₁₀(10⁻⁷·⁵) = 7,5, que de fato satisfaz 7 < 7,5 < 8. A conversão está correta e o resultado bate exatamente com a alternativa que apresenta 10⁻⁸ < x < 10⁻⁷.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) qualquer valor acima de 10⁻⁸.

❌ Incorreta: essa alternativa considera apenas o limite inferior (pH < 8 → x > 10⁻⁸), mas ignora completamente a condição de a flor ser rosa (pH > 7 → x < 10⁻⁷). Sem o limite superior, valores de x muito grandes (que dariam pH baixo, solo ácido e flor azul) também seriam aceitos incorretamente.

B) qualquer valor positivo inferior a 10⁻⁷.

❌ Incorreta: representa apenas a condição de a flor ser rosa (pH > 7 → x < 10⁻⁷), mas esquece a restrição adicional do enunciado sobre a flor "mais valorizada comercialmente" (pH < 8 → x > 10⁻⁸). Sem o limite inferior, valores de x extremamente pequenos (pH muito acima de 8) também seriam aceitos, contrariando o texto.

C) valores maiores que 7 e menores que 8.

❌ Incorreta: essa alternativa confunde a variável x com o próprio valor do pH. O intervalo 7 < pH < 8 está correto para o pH, mas a questão pede o valor de x (a concentração de H⁺), que é obtido isolando x na fórmula pH = −log₁₀x — e não é simplesmente igual ao número do pH.

D) valores maiores que 70 e menores que 80.

❌ Incorreta: é uma armadilha numérica que multiplica por 10 os limites do pH (7 e 8), sem nenhuma justificativa matemática. Não há qualquer etapa da resolução que leve a esses valores; provavelmente confunde a ideia de "10⁻ᵖᴴ" com uma simples multiplicação por 10.

E) valores maiores que 10⁻⁸ e menores que 10⁻⁷.

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido ao substituir 7 < pH < 8 na fórmula pH = −log₁₀x, isolar log₁₀x (invertendo o sentido das desigualdades ao multiplicar por −1) e aplicar a base 10 para desfazer o logaritmo, chegando a 10⁻⁸ < x < 10⁻⁷.

🏆 Gabarito: E — a substituição correta de 7 < pH < 8 na relação pH = −log₁₀x, com a devida inversão de sinais e o uso da definição de logaritmo, leva exatamente ao intervalo 10⁻⁸ < x < 10⁻⁷.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa E respeita as duas condições simultâneas do enunciado (flor rosa e maior valor comercial) já convertidas corretamente para a variável x, sem trocar pH por x nem errar a inversão de desigualdade.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de usar o pH como pretexto para cobrar logaritmo aplicado a contextos de química/biologia, testando se o aluno sabe manipular −log e transformar desigualdades em ambos os sentidos (de pH para x e de x para pH).
• Generalização: sempre que uma grandeza for definida por uma escala logarítmica com sinal negativo (como pH, decibéis ou magnitude Richter em algumas formulações), desconfie de inversões de desigualdade: ao isolar a variável dentro do log, o sinal de "<" e ">" se troca sempre que se multiplica por −1.
• Dica de eliminação rápida: primeiro descarte alternativas que confundem unidades — C e D trocam x por pH (ou por múltiplos de pH), o que já é fisicamente incoerente, pois x deveria ser um número muito pequeno (concentração de íons), não um número entre 7 e 80. Isso elimina duas alternativas em segundos, restando apenas A, B e E para comparar os limites da desigualdade dupla.
• Conexões: esse raciocínio se conecta diretamente com escalas logarítmicas em geral (decibéis, escala Richter) e com resolução de inequações exponenciais, temas recorrentes em outras edições do ENEM.