Questão 172 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Aritméticas e leitura de gráficos
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar leitura de gráfico, cálculo de média aritmética e extrapolação de uma sequência com razão constante
• 🎯 Tema/Habilidade: Progressão Aritmética aplicada a um contexto de vendas (Competência de área 5 — construir noções de variação de grandezas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine em que mês as vendas voltam a ficar piores que o pior mês de 2011 (julho), supondo que a queda mensal observada de novembro para dezembro se repita indefinidamente."
• Palavras-chave decisivas: média aritmética, redução constante, piores que julho
• Armadilha típica: confundir "piores que julho" com "iguais a julho" e parar de contar um mês antes, ou esquecer de calcular corretamente o valor de dezembro antes de projetar a queda.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair dados numéricos de um gráfico, calcular uma média, montar uma progressão aritmética decrescente e identificar o primeiro termo que fica abaixo do valor de referência (julho).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Leitura de gráfico linear: cada ponto do gráfico representa o número de unidades vendidas em um mês; os valores destacados no eixo vertical (700, 2 500, 2 700 e 2 800) são as referências para leitura exata dos meses.
• Média aritmética: soma de todos os valores de um conjunto dividida pela quantidade de valores — aqui usada para descobrir as vendas de dezembro a partir dos cinco meses do gráfico.
• Progressão Aritmética (PA): sequência em que cada termo é obtido somando (ou subtraindo) uma razão constante ao termo anterior; a "redução constante" mês a mês descrita no enunciado é exatamente uma PA de razão negativa.
• Termo geral da PA: aₙ = a₁ + (n − 1)·r, ferramenta que permite prever qualquer mês futuro sem precisar listar todos os termos um a um (embora aqui, por serem poucos termos, a listagem direta seja mais rápida e segura).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o mês de julho foi o pior momento da empresa em 2011" → julho é o valor de referência mínimo (700 unidades); "ficar pior que julho" significa vender menos que 700 unidades.
• Evidência 2: "o número de unidades vendidas [...] em dezembro [...] foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas nos meses de julho a novembro" → dezembro não está no gráfico; precisa ser calculado a partir dos cinco valores lidos (700, 2 500, 2 500, 2 800, 2 700).
• Evidência 3: "se essa redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro [...] se mantivesse constante nos meses subsequentes" → a diferença (novembro − dezembro) vira a razão de uma PA decrescente que se repete a partir de dezembro.
• Síntese: o caminho é: (1) ler os cinco valores do gráfico; (2) calcular a média = vendas de dezembro; (3) achar a razão da queda (novembro − dezembro); (4) aplicar essa mesma queda mês a mês até o valor cair abaixo de 700 (julho).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Leitura dos dados do gráfico

Pelas linhas tracejadas e pelos valores destacados no eixo vertical, as vendas mensais em 2011 foram:

• Julho = 700 unidades
• Agosto = 2 500 unidades
• Setembro = 2 500 unidades
• Outubro = 2 800 unidades
• Novembro = 2 700 unidades

Subpasso 4.2 — Cálculo das vendas de dezembro (a média)

Soma de julho a novembro:

700 + 2 500 + 2 500 + 2 800 + 2 700 = 11 200

Média aritmética (dezembro):

11 200 ÷ 5 = 2 240 unidades

Subpasso 4.3 — Determinação da razão da queda constante

A redução de novembro para dezembro foi:

2 700 − 2 240 = 460 unidades por mês

Essa é a razão r = −460 da progressão aritmética que, segundo o gerente, se repetiria mês a mês a partir de dezembro de 2011.

Subpasso 4.4 — Projeção mês a mês até ficar pior que julho (< 700)

Partindo de dezembro = 2 240 e subtraindo 460 a cada mês:

• Dezembro/2011: 2 240
• Janeiro/2012: 2 240 − 460 = 1 780
• Fevereiro/2012: 1 780 − 460 = 1 320
• Março/2012: 1 320 − 460 = 860
• Abril/2012: 860 − 460 = 400

Subpasso 4.5 — Verificação

Comparando cada valor com o piso de julho (700 unidades): dezembro, janeiro, fevereiro e março ainda têm vendas acima de 700 (2 240, 1 780, 1 320 e 860, respectivamente) — ou seja, ainda não são piores que julho. Só em abril/2012, com 400 unidades, o valor cai abaixo de 700, tornando as vendas oficialmente piores que o pior mês de 2011. Isso confirma que o diretor financeiro está certo ao antecipar o problema para abril, bem antes do "final de 2012" citado pelo gerente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Janeiro.

❌ Incorreta: em janeiro/2012 as vendas projetadas são 1 780 unidades, valor ainda muito acima de 700. Escolher janeiro ignora que é preciso descontar a razão de −460 repetidas vezes, não apenas uma.

B) Fevereiro.

❌ Incorreta: em fevereiro/2012 as vendas projetadas são 1 320 unidades, ainda superiores a 700. Esse erro costuma vir de aplicar a queda apenas duas vezes sem continuar a sequência até o valor realmente ultrapassar o piso de julho.

C) Março.

❌ Incorreta: em março/2012 as vendas projetadas são 860 unidades — mais baixas que os meses anteriores, mas ainda acima de 700. É a alternativa mais "tentadora" para quem para o cálculo um passo cedo demais, pois 860 já está próximo do limite, mas ainda não o ultrapassa.

D) Abril.

✅ Correta: em abril/2012 as vendas projetadas somam 860 − 460 = 400 unidades, valor inferior às 700 unidades de julho de 2011. É o primeiro mês em que a sequência decrescente fica, de fato, pior que o pior momento da empresa em 2011.

E) Maio.

❌ Incorreta: maio já seria um mês além do necessário — em maio/2012 as vendas projetadas seriam 400 − 460 = −60, um valor negativo e sem sentido prático, mostrando que abril já é suficiente (e o único correto) para caracterizar o momento em que as vendas ficam piores que julho.

🏆 Gabarito: D — Calculando a média de julho a novembro (2 240 = vendas de dezembro) e subtraindo repetidamente a razão de queda de 460 unidades/mês, as vendas só ficam abaixo do piso de julho (700 unidades) em abril de 2012.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: abril é o único mês em que o valor da sequência (400 unidades) fica estritamente abaixo do valor de referência de julho (700 unidades); todos os meses anteriores (dezembro a março) ainda estão acima desse piso.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente combina leitura de gráfico com progressão aritmética ou geométrica, exigindo que o aluno primeiro extraia dados numéricos corretos da figura antes de aplicar qualquer fórmula — o erro de leitura do gráfico é tão fatal quanto o erro de cálculo.
• Generalização: sempre que um problema disser "se essa variação se mantivesse constante", isso é sinal de PA: identifique o primeiro termo e a razão, depois monte a lista de termos (ou use aₙ = a₁ + (n−1)r) até atingir a condição pedida.
• Dica de eliminação rápida: calcule sempre a razão da queda ANTES de testar as alternativas; com r = −460 e ponto de partida em dezembro = 2 240, basta subtrair sucessivamente até passar de 700 — isso elimina A, B e C de imediato por ainda estarem acima do piso, e descarta E por ultrapassar o necessário (valor negativo).
• Conexões: este tipo de questão se conecta com problemas de "juros simples" (variação linear no tempo) e com interpretação de gráficos em Geografia/Atualidades, onde também é comum pedir a continuação de uma tendência linear a partir de poucos pontos de dados.